Question

Найти точку экстремума f(x) =3x^2-2x^3+6

Answer 1

F'(x) = 6x -6x²
6x -6x² = 0
x(6 - 6x) = 0
x = 0   или     6 - 6х = 0
                       х = 1
-∞             0            1           +∞
          -             +            -           это знаки 6х - 6х²
х = 0   это точка минимума
х = 1   это точка максимума  

Answer 2

Поиск точки экстремума функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6

Для поиска точки экстремума функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6 необходимо найти её производные и решить уравнение f'(x) = 0, чтобы определить значения x, в которых функция может иметь локальные экстремумы. Затем проверим вторую производную, чтобы убедиться, что найденные точки действительно являются точками экстремума.

1. Нахождение производных:

Первая производная функции f(x) находится путем взятия производной каждого члена по отдельности: f'(x) = d/dx (3x^2 - 2x^3 + 6)

f'(x) = 6x - 6x^2

2. Нахождение точек экстремума:

Теперь, чтобы найти точки экстремума, приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: 6x - 6x^2 = 0

Вынесем общий множитель 6x: 6x(1 - x) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x: x = 0 или x = 1

3. Проверка второй производной:

Для определения типа экстремума, проверим знак второй производной в окрестностях найденных точек.

f''(x) = d^2/dx^2 (3x^2 - 2x^3 + 6) f''(x) = 6 - 12x

Подставим x = 0: f''(0) = 6 Подставим x = 1: f''(1) = -6

4. Вывод:

- При x = 0, вторая производная положительна, следовательно, функция имеет локальный минимум в точке (0, f(0)). - При x = 1, вторая производная отрицательна, следовательно, функция имеет локальный максимум в точке (1, f(1)).

Таким образом, точки экстремума функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6: - локальный минимум в точке (0, 6) - локальный максимум в точке (1, 7)

Это процесс нахождения и анализа точек экстремума функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6. Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, дайте мне знать!