Question

Розв'яжіть рівняння: 1) 25^x-5^x=0​

Answer 1

Для розв'язання даного рівняння, 1) $25^x - 5^x = 0$, ми можемо скористатись фактом, що обидва доданки містять однакову базу, а саме число 5.

Розкладання на множники:

Запишемо дане рівняння замість $25^x$ як $(5^2)^x$, тоді ми отримаємо $(5^2)^x - 5^x = 0$.

Тепер ми можемо скористатись властивостями степенів і використовувати правило $(a^m)^n = a^{mn}$, де $a$ - додатне число і $m$ та $n$ - довільні дійсні числа. Використовуючи це правило, ми можемо переписати рівняння як $5^{2x} - 5^x = 0$.

Факторизація:

Тепер ми можемо скористатись властивістю множення і відняття степенів з однаковою базою. Коли у нас є дві степені з однаковою базою, ми можемо відняти меншу степінь від більшої: $5^{2x} - 5^x = 0$.

Застосуємо це правило і отримаємо: $5^x(5^x - 1) = 0$.

Тепер ми отримали факторизований вигляд рівняння.

Розв'язування:

Щоб знайти значення $x$, які задовольняють рівнянню, ми розглянемо рівняння $5^x = 0$ та $5^x - 1 = 0$ окремо.

1) $5^x = 0$: Це рівняння не має розв'язків, оскільки жодна степінь числа 5 не може дорівнювати нулю.

2) $5^x - 1 = 0$: Додамо 1 до обох боків рівняння: $5^x = 1$.

Тепер ми можемо використати властивість, що $a^0 = 1$, де $a$ - додатне число. Це означає, що $5^0 = 1$. Таким чином, для цього рівняння ми маємо $x = 0$.

Відповідь:

Отримали два розв'язки: $x = 0$ та жодного розв'язку для $5^x = 0$.