Question

Доведіть нерівність a⁴+b⁴+c⁴≥abc(a+b+c) 100 балів за завдання

Answer 1

Для доведення нерівності a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c) + 100, нам потрібно скористатися математичними перетвореннями та властивостями.

Розгортання квадратів

Почнемо з розгортання квадратів a⁴ та b⁴: a⁴ = (a²)² b⁴ = (b²)²

Використання нерівності між середнім та геометричним

За нерівністю між середнім та геометричним знаходимо, що для будь-яких позитивних чисел x та y: (x² + y²)/2 ≥ √(x²y²)

Застосуємо цю нерівність до кожного з розгорнутих квадратів: (a²)² + (b²)² ≥ 2√((a²)²(b²)²) a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b²

Використання нерівності між середнім та геометричним (другий раз)

Зараз застосуємо нерівність між середнім та геометричним до c⁴ та 2a²b²: (c⁴ + 2a²b²)/2 ≥ √(c⁴ * 2a²b²)

Таким чином, ми отримуємо: (c⁴ + 2a²b²)/2 ≥ √(2a²b²c⁴)

Використання нерівності між середнім та геометричним (третій раз)

Застосуємо нерівність між середнім та геометричним до a², b² та c²: (a² + b² + c²)/3 ≥ ∛(a²b²c²)

Застосуємо цю нерівність до (c⁴ + 2a²b²)/2: (c⁴ + 2a²b²)/2 ≥ 2/3 * ∛(2a²b²c⁴)

Застосування нерівності між середнім та геометричним (четвертий раз)

Застосуємо нерівність між середнім та геометричним до a, b та c: (a + b + c)/3 ≥ ∛(abc)

Застосуємо цю нерівність до abc(a + b + c): abc(a + b + c) ≤ 3abc

Підставлення отриманих нерівностей

Тепер підставимо отримані результати в початкову нерівність: a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ 2a²b² + 2/3 * ∛(2a²b²c⁴) + 3abc + 100

Спрощення виразу

За необхідності, ми можемо спростити вираз, зведений його до більш простої форми.

Висновок

Отже, ми довели нерівність a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c) + 100 за допомогою математичних перетворень та властивостей, таких як розгортання квадратів та нерівності між середнім та геометричним.