Question

Розв'язати рівняння |х²-4х+3|+|х²-4х+6|=1

Answer 1

Ответ:

Щоб розв'язати рівняння |х²-4х+3|+|х²-4х+6| = 1, спростимо його, враховуючи, що вирази під модулями можуть бути додатніми або від'ємними.

1. Для першого модуля (|х²-4х+3|), ми маємо:

а) Якщо (х²-4х+3) ≥ 0, то |х²-4х+3| = (х²-4х+3).

б) Якщо (х²-4х+3) < 0, то |х²-4х+3| = -(х²-4х+3).

2. Для другого модуля (|х²-4х+6|), ми також маємо:

а) Якщо (х²-4х+6) ≥ 0, то |х²-4х+6| = (х²-4х+6).

б) Якщо (х²-4х+6) < 0, то |х²-4х+6| = -(х²-4х+6).

Отже, рівняння може бути записане як:

(х²-4х+3) + (х²-4х+6) = 1

або

-(х²-4х+3) - (х²-4х+6) = 1

Розглянемо кожну з цих альтернатив:

1. Перший варіант:

(х²-4х+3) + (х²-4х+6) = 1

2x² - 8x + 9 = 1

2x² - 8x + 9 - 1 = 0

2x² - 8x + 8 = 0

2. Другий варіант:

-(х²-4х+3) - (х²-4х+6) = 1

-x² + 4x - 3 - x² + 4x - 6 = 1

-2x² + 8x - 9 = 1

-2x² + 8x - 9 - 1 = 0

-2x² + 8x - 10 = 0

Тепер ми можемо розв'язати обидві квадратні рівняння:

1. Для 2x² - 8x + 8 = 0:

Діскримінант D = (-8)² - 4 * 2 * 8 = 64 - 64 = 0

Так як D = 0, це означає, що єдиний корінь цього рівняння:

x = -b / (2a) = -(-8) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2

2. Для -2x² + 8x - 10 = 0:

Діскримінант D = 8² - 4 * (-2) * (-10) = 64 - 80 = -16

Оскільки D від'ємний, це означає, що це рівняння не має дійсних коренів.

Отже, розв'язки рівняння |х²-4х+3|+|х²-4х+6| = 1:

x = 2 (для першого варіанту)

Для другого варіанту рівняння розв'язків немає на множині дійсних чисел.

Answer 2

Відповідь:

Для розв'язання цього рівняння спростимо спершу вирази в модулях:

|х² - 4х + 3| + |х² - 4х + 6| = 1

Зауважте, що обидва вирази в модулях мають спільний множник (х² - 4х), тому ми можемо розглядати цей множник як один вираз:

|х² - 4х| * |1 - 2| = 1

|х² - 4х| = 1

Тепер розглянемо два можливі випадки:

1. Якщо (х² - 4х) додатне:

х² - 4х = 1

Звідси ми отримуємо квадратне рівняння:

х² - 4х - 1 = 0

За допомогою квадратного рівняння знайдемо розв'язки для х:

х₁ = (4 + √20) / 2

х₂ = (4 - √20) / 2

2. Якщо (х² - 4х) від'ємне:

-(х² - 4х) = 1

х² - 4х = -1

Знову отримуємо квадратне рівняння:

х² - 4х + 1 = 0

За допомогою квадратного рівняння знайдемо розв'язки для х:

х₁ = 2 + √3

х₂ = 2 - √3

Таким чином, маємо чотири розв'язки для цього рівняння:

х₁ = (4 + √20) / 2

х₂ = (4 - √20) / 2

х₃ = 2 + √3

х₄ = 2 - √3

Пояснення:

Answer 3

Зробимо заміну для спрощення виразу. Позначимо \(y = x^2 - 4x\). Тоді ми можемо переписати рівняння в нових змінних:

\[ |y + 3| + |y + 6| = 1 \]

Розглянемо різні випадки знаків виразів \(y + 3\) і \(y + 6\):

1. Якщо \(y + 3 \geq 0\) і \(y + 6 \geq 0\): Тоді рівняння буде мати вигляд \(y + 3 + y + 6 = 1\).

2. Якщо \(y + 3 \geq 0\) і \(y + 6 < 0\): Тоді рівняння буде мати вигляд \(y + 3 - (y + 6) = 1\).

3. Якщо \(y + 3 < 0\) і \(y + 6 \geq 0\): Тоді рівняння буде мати вигляд \(-(y + 3) + (y + 6) = 1\).

4. Якщо \(y + 3 < 0\) і \(y + 6 < 0\): Тоді рівняння буде мати вигляд \(-(y + 3) - (y + 6) = 1\).

Розв'яжемо кожен з цих випадків:

1. \(2y + 9 = 1\): \[2y = -8 \implies y = -4\]

2. \(-3 = 1\), що неможливо.

3. \(-y + 3 + y + 6 = 1\): \[9 = 1\), що неможливо.

4. \(-9 = 1\), що неможливо.

Отже, єдиним розв'язком рівняння \(|x^2 - 4x + 3| + |x^2 - 4x + 6| = 1\) є \(x^2 - 4x = -4\). Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо два значення:

\[x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2\]

Отже, єдиним розв'язком вихідного рівняння є \(x = 2\).