Question

Разложите по формуле бинома Ньютона: (1+3b)⁴

Answer 1

(1+3b)⁴ = C(4,0) * 1⁴ * (3b)⁰ + C(4,1) * 1³ * (3b)¹ + C(4,2) * 1² * (3b)² + C(4,3) * 1¹ * (3b)³ + C(4,4) * 1⁰ * (3b)⁴

C(4,0) = 1

C(4,1) = 4

C(4,2) = 6

C(4,3) = 4

C(4,4) = 1

(1+3b)⁴=

(1+3b)⁴ = 1 * 1⁴ * (3b)⁰ + 4 * 1³ * (3b)¹ + 6 * 1² * (3b)² + 4 * 1¹ * (3b)³ + 1 * 1⁰ * (3b)⁴

(1+3b)⁴ = 1 + 12b + 54b² + 108b³ + 81b⁴

Отже, вираз (1+3b)⁴ розкладено за допомогою формули бінома Ньютона і дорівнює 1 + 12b + 54b² + 108b³ + 81b⁴.

Answer 2

Ответ:

Разложение по формуле бинома Ньютона имеет вид:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$$

где ${n \choose k}$ - это биномиальный коэффициент, равный:

$${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где $n!$ - это факториал числа $n$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В данном случае, $a=1$, $b=3b$, $n=4$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$$(1+3b)^4 = \sum_{k=0}^4 {4 \choose k} 1^{4-k} (3b)^k$$

Раскрывая сумму и вычисляя биномиальные коэффициенты и степени, получаем:

$$(1+3b)^4 = {4 \choose 0} 1^4 (3b)^0 + {4 \choose 1} 1^3 (3b)^1 + {4 \choose 2} 1^2 (3b)^2 + {4 \choose 3} 1^1 (3b)^3 + {4 \choose 4} 1^0 (3b)^4$$

$$(1+3b)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot 3b + 6 \cdot 1 \cdot 9b^2 + 4 \cdot 1 \cdot 27b^3 + 1 \cdot 1 \cdot 81b^4$$

$$(1+3b)^4 = 1 + 12b + 54b^2 + 108b^3 + 81b^4$$

Это окончательный ответ.