Question

1. Нехай а, b, e- три різні цифри. Якщо додати всі шість двоцифрових чисел, які можна записати з їхньою допомогою, не повторюючи одну і ту саму цифру в числі двічі, то отримаємо 528. Знайдіть ці цифри.

Answer 1

Відповідь:

7, 8, 9.

Завдання:

Нехай а, b, с - три різні цифри. Якщо додати всі шість двоцифрових чисел, які можна записати з їхньою допомогою, не повторюючи одну і ту саму цифру в числі двічі, то отримаємо 528. Знайдіть ці цифри.

Розв'язання:

Всі шість двоцифрові числа, які можна записати різними цифрами а, b, c, не повторюючи одну і ту саму цифру в числі двічі, подамо у вигляді суми розрядних доданків:

$\overline{ab} = 10a + b$

$\overline{ac} = 10a + c$

$\overline{ba} = 10b + a$

$\overline{bc} = 10b + c$

$\overline{ca} = 10c + a$

$\overline{cb} = 10c + b$

Оскільки сума всіх чисел дорівнює 528, то маємо рівняння:

$\overline{ab} + \overline{ac} + \overline{ba} + \overline{bc} + \overline{ca} + \overline{cb} = 528$

$10a + b + 10a + c + 10b + a + 10b + c + 10c + a + 10c + b = 528$

$22a + 22b + 22c = 528$

$22(a + b + c) = 528$

$a + b + c = 528 \div 22$

$a + b + c = 24$

Сума трьох різних цифр може дорівнювати 24 тільки коли ці цифри: 7, 8, 9.

Відповідь: 7, 8, 9.

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти цифри a, b і e, ми можемо розглянути всі можливі комбінації двоцифрових чисел, які можна утворити з a, b і e. Потім додаємо всі ці числа і перевіряємо, чи дорівнює сума 528.

Нехай a - перша цифра в числі, b - друга цифра, e - третя цифра.

Ми маємо такі можливі комбінації:

ab + ae + ba + be + ea + eb = 528

Можемо записати це рівняння у вигляді:

11(ab + ae + ba + be + ea + eb) = 528

ab + ae + ba + be + ea + eb = 48

Тепер розглянемо окремо можливі комбінації двоцифрових чисел:

ab: може бути 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89

ae: може бути 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89

ba: може бути 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89

be: може бути 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89

ea: може бути 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89

eb: може бути 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89

Тепер перевіримо, які комбінації цифр задовольняють рівняння ab + ae + ba + be + ea + eb = 48:

12 + 12 + 21 + 21 + 12 + 21 = 99 13 + 13 + 23 + 23 + 13 + 23 = 108 14 + 14 + 24 + 24 + 14 + 24 = 120 15 + 15 + 25 + 25 + 15 + 25 = 150 16 + 16 + 26 + 26 + 16 + 26 = 160 17 + 17 + 27 + 27 + 17 + 27 = 180 18 + 18 + 28 + 28 + 18 + 28 = 198 19 + 19 + 29 + 29 + 19 + 29 = 204 23 + 23 + 32 + 32 + 23 + 32 = 165 24 + 24 + 34 + 34 + 24 + 34 = 180 25 + 25 + 35 + 35 + 25 + 35 = 180 26 + 26 + 36 + 36 + 26 + 36 = 186 27 + 27 + 37 + 37 + 27 + 37 = 192 28 + 28 + 38 + 38 + 28 + 38 = 200 29 + 29 + 39 + 39 + 29 + 39 = 204 34 + 34 + 43 + 43 + 34 + 43 = 241 35 + 35 + 45 + 45 + 35 + 45 = 240 36 + 36 + 46 + 46 + 36 + 46 = 246 37 + 37 + 47 + 47 + 37 + 47 = 252 38 + 38 + 48 + 48 + 38 + 48 = 252 39 + 39 + 49 + 49 + 39 + 49 = 264 45 + 45 + 54 + 54 + 45 + 54 = 257 46 + 46 + 56 + 56 + 46 + 56 = 266 47 + 47 + 57 + 57 + 47 + 57 = 272 48 + 48 + 58 + 58 + 48 + 58 = 272 49 + 49 + 59 + 59 + 49 + 59 = 284 56 + 56 + 65 + 65 + 56 + 65 = 363 57 + 57 + 67 + 67 + 57 + 67 = 370 58 + 58 + 68 + 68 + 58 + 68 = 378 59 + 59 + 69 + 69 + 59 + 69 = 384 67 + 67 + 76 + 76 + 67 + 76 = 429 68 + 68 + 78 + 78 + 68 + 78 = 438 69 + 69 + 79 + 79 + 69 + 79 = 444 78 + 78 + 87 + 87 + 78 + 87 = 495 79 + 79 + 89 + 89 + 79 + 89 = 504 89 + 89 + 98 + 98 + 89 + 98 = 551

Отже, комбінації цифр, які задовольняють умову, є 24 + 25 + 39, або 2 + 4 + 5. Таким чином, ми отримали, що a = 2, b = 4 і e = 5.