Question

На доске написано число 2016. Настойчивый одинадцатиклассник Олег пишет последовательность, в которой каждое число равно сумме квадратов предыдущего : 2016, 41, 17, 50,... Какое число будет стоять в этой последовательности на 2016-м месте?

Answer 1

2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145,...
Поскольку каждый следующий элемент однозначно определяется предыдущим, то как только в последовательности встретится число, которое уже было раньше, последоватеьлность с этого места начнет повторяться.  Такой момент наступает на 16-ом элементе: число 89 уже было на 8-м месте. Итак, до начала периодичности записано 7 элементов: 2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85,  а после этого последовательность из 8 элементов 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58  циклически повторяется. Т.к. 2016-7=2009=8*251+1, то после семи первых элементов в 2009 элементов укладывается 251 полный период длиной 8, и поскольку остаток равен 1, то 2016-ый элемент равен первому элементу в периоде, т.е. 89. Ответ: 89.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод последовательного вычисления следующего числа в последовательности.

Начнем с числа 2016. Затем мы будем вычислять следующее число, как сумму квадратов предыдущего числа. Таким образом, следующее число будет равно 41^2 = 1681. Затем мы вычисляем 17^2 = 289 и 50^2 = 2500.

Продолжая этот процесс, мы можем вычислить последовательность чисел:

2016, 41, 17, 50, 1681, 289, 2500, ...

Теперь мы хотим найти число, которое будет стоять в этой последовательности на 2016-м месте. Для этого мы можем продолжить вычисления, пока не достигнем 2016-го числа.

Однако, чтобы упростить процесс, мы можем заметить, что последовательность начинает повторяться после некоторого момента. Это происходит из-за того, что квадрат любого числа всегда будет положительным, и рано или поздно мы вернемся к уже вычисленным числам.

Поэтому мы можем найти периодичность этой последовательности и использовать ее, чтобы найти число на 2016-м месте.

Таким образом, мы можем найти, что последовательность повторяется с периодом 3: 2016, 41, 17. Следовательно, число на 2016-м месте будет равно числу на (2016 mod 3)-м месте, то есть на 0-м месте, что равно 2016.

Таким образом, число, которое будет стоять в этой последовательности на 2016-м месте, будет равно 2016.