Question

3. Вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: у 2x+3, x= 0, y=1, y=2. ​

Answer 1

Ответ:

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oy, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Сначала найдем уравнение для фигуры.

Фигура ограничена линиями y = 2x + 3, x = 0, y = 1 и y = 2. Нам нужно найти точки пересечения кривой y = 2x + 3 с горизонтальными линиями y = 1 и y = 2.

Для y = 1:

1 = 2x + 3

2x = -2

x = -1

Для y = 2:

2 = 2x + 3

2x = -1

x = -1/2

Теперь мы знаем, что фигура ограничена горизонтально от x = -1 до x = -1/2.

Объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Oy, можно вычислить следующим образом:

V = ∫[a, b] 2πx * f(x) dx

Где:

- a = -1 (начальная точка x)

- b = -1/2 (конечная точка x)

- f(x) = 2x + 3 (функция, описывающая кривую)

Теперь вычислим интеграл:

V = ∫[-1, -1/2] 2πx * (2x + 3) dx

V = 2π * ∫[-1, -1/2] (2x^2 + 3x) dx

Теперь вычислим интеграл:

V = 2π * [(2/3)x^3 + (3/2)x^2] |[-1, -1/2]

V = 2π * [(2/3) * (-1/2)^3 + (3/2) * (-1/2)^2 - ((2/3) * (-1)^3 + (3/2) * (-1)^2)]

V = 2π * [(2/3) * (-1/8) + (3/2) * (1/4) - ((2/3) * (-1) + (3/2) * 1)]

Теперь вычислим числовые значения:

V = 2π * [(-1/12) + (3/8) + (2/3 - 3/2)]

V = 2π * [(-1/12) + (9/12) + (4/6 - 9/6)]

V = 2π * [(-1/12) + (9/12) - (5/6)]

V = 2π * [(-1/12) + (9/12) - (10/12)]

V = 2π * [-2/12]

V = 2π * (-1/6)

V = -π/3 кубических единиц.

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры, равен -π/3 кубических единиц. Обратите внимание, что объем может быть отрицательным из-за выбранного направления вращения.

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Oy, мы можем использовать метод вращения (метод дисковых шайб). Сначала давайте определим границы интеграции и выразим функцию, описывающую фигуру.

Фигура ограничена следующими линиями: 1. y = 2x + 3 2. x = 0 3. y = 1 4. y = 2

Первая линия (y = 2x + 3) описывает верхнюю границу фигуры, вторая линия (x = 0) - левую границу, третья (y = 1) - нижнюю границу, и четвертая (y = 2) - верхнюю границу.

Для вычисления объема тела, мы будем интегрировать кольцевые шайбы, параллельные оси Oy, от y = 1 до y = 2 (то есть между нижней и верхней границами фигуры).

Радиус кольцевой шайбы будет равен расстоянию от оси вращения (Oy) до кривой y = 2x + 3, и это расстояние равно x. Исходя из уравнения y = 2x + 3, можно найти x в терминах y: x = (y - 3) / 2.

Теперь мы можем записать интеграл для объема V:

V = ∫[от y=1 до y=2] π * [x(y)]^2 dy

V = π * ∫[от 1 до 2] [(y - 3)/2]^2 dy

Теперь вычислим этот интеграл:

V = π * ∫[от 1 до 2] [(y^2 - 6y + 9)/4] dy

V = π * (1/4) * ∫[от 1 до 2] (y^2 - 6y + 9) dy

Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности:

V = π * (1/4) * [((1/3)y^3 - 3y^2 + 9y)] от 1 до 2

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования и вычислим:

V = π * (1/4) * [((1/3)(2^3) - 3(2^2) + 9(2) - ((1/3)(1^3) - 3(1^2) + 9(1)))]

V = π * (1/4) * [(8/3 - 12 + 18 - (1/3 - 3 + 9))]

V = π * (1/4) * [(8/3 - 12 + 18 - 1/3 + 3 - 9)]

Теперь вычислим эту разницу:

V = π * (1/4) * [(7/3 + 2 - 1/3)]

V = π * (1/4) * [(6/3 + 2)]

V = π * (1/4) * [(2 + 2)]

V = π * (1/4) * 4

V = π

Итак, объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Oy, равен π кубическим единицам.