Question

Найти объем тела вращения, образованного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и y=x. В ответ записать .

Answer 1

Точки пересечения 
$\sqrt{x}=x\\ x \geq 0\\ x(1-x)=0\\ x=0;\\ x=1$. 
По формуле $V=\pi \int\limits^a_b f^2(x)dx\\\\ \pi*(\int\limits^1_0 {\sqrt{x}^2dx} - \int\limits^1_0 {x^2} \, dx) = \pi(\frac{x^2}{2}^1_0-\frac{x^3}{3}^1_0)=\\\\ \pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{6}\\\\ \frac{3*\frac{\pi}{6}}{\pi}=\frac{1}{2}$ 


Ответ $\frac{1}{2}$
 

Answer 2

Для нахождения объема тела вращения, образованного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндрических слоев (метод кольцевых цилиндров).

Фигура, ограниченная линиями y = x и x-осью, представляет собой треугольник в первой четверти плоскости.

Границы интегрирования будут от 0 до 1, так как точка пересечения y = x с x-осью равна (0,0), а точка пересечения с y-осью равна (1,1).

Теперь, чтобы найти объем вращения, мы можем использовать следующий интеграл:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx, \]

где \(f(x)\) - функция, описывающая верхнюю границу фигуры (в данном случае, \(y = x\)).

Таким образом, для данной фигуры объем вращения будет равен:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} x^2 \,dx. \]

Теперь найдем этот интеграл:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \]

\[ V = \pi \left( \frac{1}{3} - 0 \right) \]

\[ V = \frac{\pi}{3}. \]

Итак, объем тела вращения, образованного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y = x и x-осью, равен \(\frac{\pi}{3}\).