Question

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=–2x–x2 и у=2х+3 Подробно, если можно.

Answer 1

Решение задачи на фото

Answer 2

Привет! Я могу помочь тебе решить эту задачу. Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -2x - x^2 и y = 2x + 3, мы должны найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл площади между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения этих двух линий. Поставим уравнения друг против друга и решим полученное уравнение:

-2x - x^2 = 2x + 3

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 + 4x + 3 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуя полученное уравнение, мы получим:

(x + 1)(x + 3) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = -1 и x = -3. Подставим эти значения в одно из уравнений, например, в y = -2x - x^2:

y = -2(-1) - (-1)^2 = 2 - 1 = 1

y = -2(-3) - (-3)^2 = 6 - 9 = -3

Таким образом, точки пересечения линий -1,1 и -3,-3.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем использовать интеграл. Поскольку фигура ограничена верхней и нижней границами, мы можем вычислить интеграл разности функций:

S = ∫(верхняя граница - нижняя граница) dx

S = ∫((2x + 3) - (-2x - x^2)) dx

S = ∫(2x + 3 + 2x + x^2) dx

S = ∫(x^2 + 4x + 3) dx

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение:

S = (1/3)x^3 + 2x^2 + 3x + C

где C - постоянная интегрирования.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы должны вычислить значение этого выражения между точками пересечения (-3,-3) и (-1,1):

S = [(1/3)(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1)] - [(1/3)(-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3)]

S = [(1/3)(-1) + 2 + (-3)] - [(1/3)(-27) + 2(9) + (-9)]

S = (-1/3 + 2 - 3) - (-9/3 + 18 - 9)

S = (-1/3 - 1) - (-3 + 9)

S = -4/3 - 6

S = -22/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -2x - x^2 и y = 2x + 3, равна -22/3.

Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.