Question

3) интеграл sinх ×√cosx dx. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

∫sinx√(cosx)dx=-∫√(u)du=-(2u^(3/2))/3+C=-(2cos^(3/2)x)/3+C
u=cosx

du=-sinxdx

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫sin(x) * √cos(x) dx нам потребуется использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле интегрирования произведения двух функций:

∫u dv = uv - ∫v du

где u и dv - это выбранные нами функции, а du и v - их производные.

Для данного интеграла мы можем выбрать:

u = √cos(x) dv = sin(x) dx

Теперь вычислим их производные:

du = (-1/2) * cos(x)^(-3/2) * (-sin(x)) dx = (1/2) * sin(x) / √cos(x) dx v = -cos(x)

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫sin(x) * √cos(x) dx = u * v - ∫v * du ∫sin(x) * √cos(x) dx = (√cos(x)) * (-cos(x)) - ∫(-cos(x)) * ((1/2) * sin(x) / √cos(x)) dx

Теперь у нас есть два члена в выражении. Давайте вычислим их по отдельности.

1. u * v: (√cos(x)) * (-cos(x)) = -√cos(x) * cos(x)

2. ∫(-cos(x)) * ((1/2) * sin(x) / √cos(x)) dx: Вынесем (1/2) за пределы интеграла: (1/2) * ∫(-cos(x)) * (sin(x) / √cos(x)) dx

Теперь заметим, что у нас есть интеграл ∫(-cos(x)) * (sin(x) / √cos(x)) dx, который очень похож на производную √cos(x). Давайте воспользуемся заменой переменных:

Пусть t = √cos(x), тогда dt = (-1/2) * sin(x) / √cos(x) dx

Теперь наш интеграл становится: (1/2) * ∫-dt = (-1/2) * t + C, где C - постоянная интеграции

Теперь вернемся к исходному интегралу: ∫sin(x) * √cos(x) dx = -√cos(x) * cos(x) - (-1/2) * t + C ∫sin(x) * √cos(x) dx = -√cos(x) * cos(x) + (1/2) * √cos(x) + C

Таким образом, окончательный ответ на данный интеграл: ∫sin(x) * √cos(x) dx = -√cos(x) * cos(x) + (1/2) * √cos(x) + C, где C - постоянная интеграции.