Question

Розв'яжіть систему нерівностей: 20x-8-3(7x - 10) ≥24 (x +4)²≤х²+4х+56

Answer 1

Давайте розглянемо дану систему нерівностей почергово.

1) 20x - 8 - 3(7x - 10) ≥ 24 Спочатку розкриваємо дужки: 20x - 8 - 21x + 30 ≥ 24 Потім спрощуємо: -x + 22 ≥ 24 Віднімаємо 22 з обох сторін: -x ≥ 2 Перевертаємо нерівність: x ≤ -2

2) (x + 4)² ≤ x² + 4x + 56 Розкриваємо квадрат: x² + 8x + 16 ≤ x² + 4x + 56 Спрощуємо: 8x + 16 ≤ 4x + 56 Віднімаємо 4x з обох сторін: 4x + 16 ≤ 56 Віднімаємо 16 з обох сторін: 4x ≤ 40 Розділяємо на 4: x ≤ 10

Отже, ми отримали дві нерівності: x ≤ -2 та x ≤ 10.

Однак, слід пам'ятати, що у системі нерівностей можуть бути перетини між розв'язками.

Тому остаточна відповідь: x ≤ -2 або x ≤ 10.

Answer 2

Щоб розв'язати дану систему нерівностей, спочатку приведемо її до більш зручного вигляду.

Для першої нерівності розкриємо дужки: 20x - 8 - 21x + 30 ≥ 24 + x² + 8x + 16

Скоротимо подібні доданки: -x + 22 ≥ x² + 8x + 40

Перенесемо все в одну сторону: x² + 9x + 18 ≤ 0

Для другої нерівності також розкриємо дужки: x² + 8x + 16 ≤ x² + 4x + 56

Скоротимо подібні доданки: 4x - 40 ≥ 0

Тепер ми маємо дві нерівності: 1) x² + 9x + 18 ≤ 0 2) 4x - 40 ≥ 0

Розв'язок першої нерівності:

Для розв'язання квадратної нерівності x² + 9x + 18 ≤ 0, спочатку знайдемо її вершина. Формула для знаходження вершини квадратного трьохчлена виглядає так: x = -b/2a, де a, b та c - коефіцієнти квадратного трьохчлена ax² + bx + c.

У нашому випадку, a = 1, b = 9, c = 18. Підставимо ці значення в формулу: x = -9/2(1) = -9/2

Тепер ми знаємо, що вершина цієї квадратної нерівності знаходиться в точці x = -9/2. Також, оскільки коефіцієнт a > 0, то графік нерівності відкритий вгору.

Тепер давайте перевіримо значення функції в кінцях проміжку, оскільки нам потрібно знайти, коли функція менше або дорівнює нулю.

Підставимо x = -10 у нерівність: (-10)² + 9(-10) + 18 ≤ 0 100 - 90 + 18 ≤ 0 28 ≤ 0

Це нерівність не виконується.

Тепер підставимо x = -8 у нерівність: (-8)² + 9(-8) + 18 ≤ 0 64 - 72 + 18 ≤ 0 10 ≤ 0

Ця нерівність також не виконується.

Отже, розв'язок першої нерівності x² + 9x + 18 ≤ 0 - це порожнє множество.

Розв'язок другої нерівності:

Друга нерівність 4x - 40 ≥ 0 може бути спрощена до 4(x - 10) ≥ 0.

Тепер ми знаємо, що ця нерівність виконується при x ≥ 10.

Загальний розв'язок:

Оскільки перша нерівність не має розв'язку, а друга нерівність виконується при x ≥ 10, то загальний розв'язок системи нерівностей 20x - 8 - 3(7x - 10) ≥ 24 + (x + 4)² ≤ х² + 4х + 56 - це x ≥ 10.