Question

Дослідіть функцію у= - х2 + х - 3 і побудуйте її графік. За графіком визначте область значень функції? На яких проміжках функція: невід’ємна? Зростає?

Answer 1

Для того чтобы исследовать функцию y = -x^2 + x - 3 и построить ее график, нам нужно рассмотреть ее свойства, а затем провести анализ графика.

1. Найдем производную функции: y' = -2x + 1

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: -2x + 1 = 0 -2x = -1 x = 1/2

3. Анализ критических точек: Точка x = 1/2 - это точка минимума функции. Это означает, что функция будет убывать до x = 1/2 и возрастать после этой точки.

4. Найдем y-координаты при x = 0, x = 1/2 и x = 1 (точки, где производная равна нулю и концы интервала): - При x = 0: y(0) = -0^2 + 0 - 3 = -3 - При x = 1/2: y(1/2) = -(1/2)^2 + 1/2 - 3 = -25/4 - При x = 1: y(1) = -1^2 + 1 - 3 = -3

Теперь мы можем построить график функции:

График функции y = -x^2 + x - 3 будет представлять собой параболу с вершиной в точке (1/2, -25/4), которая направлена вниз. Функция будет невозрастающей в интервале (-бесконечность, 1/2) и возрастающей в интервале (1/2, +бесконечность).

Чтобы определить область значений функции, нам нужно найти ее максимальное значение, которое происходит в точке (1/2, -25/4). Таким образом, область значений функции будет от минус бесконечности до -25/4, исключая -25/4. Математически это можно записать как:

Область значений: y ∈ (-∞, -25/4) \ { -25/4 }

Функция невозрастает на интервале (-бесконечность, 1/2) и возрастает на интервале (1/2, +бесконечность). Таким образом, функция невозрастает на интервале (-бесконечность, 1/2) и возрастает на интервале (1/2, +бесконечность).

Невид'ємна в області значень від -бесконечності до -25/4 та включає -25/4.

Зростає на проміжку (1/2, +бесконечність).