Question

Знайдіть визначення функції f(x) =x+3/x-2​

Answer 1

Знаменатель дроби не должен равняться нулю , так как на ноль делить нельзя .

$\displaystyle\bf\\f(x)=\frac{x+3}{x-2} \\\\\\x-2\neq 0\\\\\\x\neq 2\\\\\\Otvet \ : \ D(f)=(-\infty \ ; \ 2)\cup(2 \ ; \ +\infty)$

Answer 2

Функція \(f(x) = \frac{x+3}{x-2}\) є раціональною функцією, оскільки вона представлена як відношення двох многочленів \(x+3\) та \(x-2\). Дозвольте розглянути її визначення та основні властивості:

1. Визначення функції: Функція \(f(x) = \frac{x+3}{x-2}\) визначена для всіх дійсних чисел \(x\), окрім значення \(x = 2\), оскільки в знаменнику маємо \(x-2\), і ділення на нуль не є визначеним.

2. Домен і область значень: Домен функції \(f(x)\) - це множина всіх дійсних чисел, за винятком \(x = 2\). Тобто, \(x\) може приймати будь-яке значення, окрім 2. Область значень функції \(f(x)\) - це множина всіх дійсних чисел, оскільки вираз \(f(x) = \frac{x+3}{x-2}\) може приймати будь-які значення, окрім тих, які ділять на нуль, але в цьому виразі немає обмежень на значення.

3. Горизонтальні та вертикальні асимптоти: Графік функції \(f(x) = \frac{x+3}{x-2}\) має вертикальну асимптоту у точці \(x = 2\) через ділення на нуль у знаменнику. Це означає, що коли \(x\) наближається до 2 зліва або справа, значення функції стають дуже великими за модулем (позитивними або негативними), але не досягають жодного конкретного значення.

Щодо горизонтальних асимптот, ця функція не має жодних горизонтальних асимптот, оскільки ступінь чисельника та знаменника однаковий.

4. Поведінка функції при \(x\to\pm\infty\): При \(x\to\pm\infty\), якщо ви дивитесь на графік функції, то ви побачите, що функція наближається до горизонтальної прямої \(y = 1\). Це означає, що функція має горизонтальну асимптоту \(y = 1\) при \(x\to\pm\infty\).

5. Нулі функції: Нулі функції - це ті значення \(x\), при яких \(f(x) = 0\). Щоб знайти нулі функції, ми розв'язуємо рівняння: \(\frac{x+3}{x-2} = 0\). Розв'язавши це рівняння, ми отримаємо \(x = -3\), що є єдиним нулем функції.

Таким чином, функція \(f(x) = \frac{x+3}{x-2}\) має вертикальну асимптоту у \(x = 2\), горизонтальну асимптоту \(y = 1\), нуль при \(x = -3\), і вона визначена для всіх \(x\), окрім 2.