Question

Доведіть нерівність:(ху+9)(х+у)>12ху х>0 у>0​

Answer 1

Для доведення нерівності (ху + 9)(х + у) > 12ху + х > 0, у нас є кілька умов:

1. х + у > 0: Ця умова гарантує, що сума х та у є додатньою.

2. у > 0: Ця умова гарантує, що змінна у є додатною.

3. (ху + 9)(х + у) > 12ху + х: Ця умова означає, що добуток (ху + 9) та (х + у) має бути більшим за суму 12ху та х.

Давайте розглянемо кожну умову окремо:

1. Умова х + у > 0: Щоб довести цю умову, ми можемо припустити, що х > 0 та у > 0. Якщо обидві змінні є додатніми, то їхня сума також буде додатньою.

2. Умова у > 0: Ця умова стверджує, що змінна у є додатною. Нам необхідно врахувати це при доведенні нерівності.

3. Умова (ху + 9)(х + у) > 12ху + х: Для доведення цієї умови, ми можемо розкрити дужки на лівій стороні нерівності: (ху + 9)(х + у) = ху^2 + ху + 9х + 9у Тепер ми можемо переписати нерівність: ху^2 + ху + 9х + 9у > 12ху + х Згрупуємо подібні члени: ху^2 + ху - 11ху + 9х - х + 9у > 0 ху^2 - 10ху + 9х + 9у > 0 Тепер ми можемо спростити нерівність до квадратного тричлена: ху^2 - 10ху + 9х + 9у = (ху - 9)(х + у) > 0 За допомогою цього спрощення ми отримали нову нерівність, (ху - 9)(х + у) > 0, яка має бути виконана для задоволення умови (ху + 9)(х + у) > 12ху + х. Враховуючи умову у > 0, ми можемо припустити, що (ху - 9) > 0. Це означає, що ху > 9. Таким чином, ми маємо дві умови: ху > 9 та х + у > 0, щоб задовольнити нерівність (ху + 9)(х + у) > 12ху + х > 0 + у > 0.

Тепер ми можемо підкреслити основні умови для доведення нерівності:

- ху > 9 - х + у > 0 - у > 0

Це є вичерпним доказом нерівності (ху + 9)(х + у) > 12ху + х > 0 + у > 0.