Question

Для целых чисел a и b выполнено неравенство a/b2+b/a2<1/a+1/b .Найдите наибольшее возможное значение суммы a+b. с объяснением пожалуйста.​

Answer 1

Ответ:

a + b = - 1

Объяснение:

ОДЗ: a ≠ 0, b ≠ 0.

... = (a³ +b³) / a²b² < (a + b)/ ab

[(a³ +b³) / a²b²] - (a + b)/ ab < 0

(a³ + b³ -ab(a + b) / a²b² < 0

Т.к., a²b² > 0  всегда, то, чтобы дробь была < 0, меньше 0 должен быть числитель:

a³ + b³ -a²b -ab² < 0

a²(a - b) - b²(a - b) < 0

(a - b) (a² - b²) < 0

(a- b)²*(a + b) < 0,  т.к. (a- b)² > 0 всегда, то

a + b < 0

a + b = -1 при условии, что числа разных знаков:

при a > 0,  b = - (а+1 )

Answer 2

Для начала преобразуем данный нам неравенство. Разделим обе части на ab^2:

a/b^2 + b/a^2 < 1/a + 1/b

Теперь приведем дроби в левой части к общему знаменателю, умножим первую дробь на a/a и вторую на b/b:

(a^2)/(a*b^2) + (b^2)/(a^2*b) < (b)/(a*b) + (a)/(a*b)

Упростим:

(a^2 + b^2)/(a*b^2) < (a + b)/(a*b)

Будем считать, что a и b отличны от нуля, чтобы исключить деление на ноль.

Перемножим обе части неравенства на a*b:

a^2 + b^2 < (a + b)^2

a^2 + b^2 < a^2 + 2ab + b^2

Отсюда мы видим, что 2ab > 0.

Таким образом, неравенство выполняется только если ab > 0.

Если ab > 0, то a и b имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

Когда a и b положительные, неравенство выполнено, так как сумма a^2 + b^2 всегда меньше (a + b)^2.

Когда a и b отрицательные, неравенство не выполнено, так как сумма a^2 + b^2 будет меньше (a + b)^2.

Таким образом, наибольшее возможное значение суммы a + b достигается, когда a и b - положительные числа. В этом случае сумма a + b не ограничена и может быть сколь угодно большой.

То есть, наибольшее возможное значение суммы a + b - неограничено.