Question

Вычислите НОД и НОК для этих чисел: 1. (25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) 2. (23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11)

Answer 1

НОД - наибольший общий делитель, поэтому берем только те множители (причем - все имеющиеся!), которые присутствуют в разложении на простые сомножители всех чисел. Если таковых нет, то НОД = 1

НОК - наименьшее общее кратное, поэтому берем множители, присутствующие хотя бы в разложении одного из чисел (но без повторов!).

1) НОД(25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) = НОД(5·5·2·2·2·2·2·7, 23·3·11·53) = 1;

НОК = 25⋅32⋅7·23⋅33⋅53 (= 225271200)

2) НОД(23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11) = НОД(23·5·7·11·11, 2·2·2·2·2·5·2·2·2·2·7, 2·3·7·11·11) = 7

НОК = 23·5·7·11·11·2·2·2·2·2·2·2·2·2·3 (= 149614080)

Answer 2

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) двух или более чисел, мы можем использовать различные подходы, включая простое разложение на множители и алгоритм Евклида. Давайте вычислим НОД и НОК для данных чисел.

Вычисление НОД и НОК для чисел (25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53):

1. Вычисление НОД: - Разложим каждое число на простые множители: - 25⋅32⋅7 = 5⋅5⋅2⋅2⋅2⋅2⋅7 - 23⋅33⋅53 = 23⋅3⋅3⋅3⋅53 - Найдем общие простые множители и возьмем их произведение: - Общие простые множители: 2, 7 - Произведение общих простых множителей: 2⋅7 = 14 - Таким образом, НОД(25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) = 14

2. Вычисление НОК: - НОК можно найти, используя формулу: НОК(a, b) = (a⋅b) / НОД(a, b) - Подставим значения и вычислим: - НОК(25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) = (25⋅32⋅7⋅23⋅33⋅53) / НОД(25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) - НОК(25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) = (25⋅32⋅7⋅23⋅33⋅53) / 14 - НОК(25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) = 759600

Таким образом, НОД для чисел (25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) равен 14, а НОК равен 759600.

Вычисление НОД и НОК для чисел (23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11):

1. Вычисление НОД: - Разложим каждое число на простые множители: - 23⋅55⋅77 = 23⋅5⋅11⋅7⋅11 - 32⋅5⋅112 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅5⋅7⋅2⋅2⋅2⋅7 - 2⋅33⋅7⋅11 = 2⋅3⋅11⋅7⋅11 - Найдем общие простые множители и возьмем их произведение: - Общие простые множители: 2, 7, 11 - Произведение общих простых множителей: 2⋅7⋅11 = 154 - Таким образом, НОД(23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11) = 154

2. Вычисление НОК: - Подставим значения и вычислим: - НОК(23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11) = (23⋅55⋅77⋅32⋅5⋅112) / НОД(23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11) - НОК(23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11) = (23⋅55⋅77⋅32⋅5⋅112) / 154 - НОК(23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11) = 161280

Таким образом, НОД для чисел (23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11) равен 154, а НОК равен 161280.