Question

Алгебра 7 класс. Квадратный трехчлен. Прямоугольный участок земли одной стороны выходит на пруд. Вдоль трёх других сторон требуется поставить забор длиной 60 м. Какие размеры должны быть у этого участка, чтобы его площадь была наибольшей? Вычислите площадь.

Answer 1

Вдоль  озера забор ставить не надо.
Пусть х - боковые стороны забора (прямоугольника), перпендикулярные к озеру.  у - длина забора, параллельная озеру.  Рисунок примерно такой:
       озеро
   1            1
х 1            1 х
   1 1 1 1 1 1
         у

2х + у = 60 ----> y=60 - 2x
S = xy = x(60-2x)
Надо найти максимум этой функции.
S' = 60-4x S' = 0 ---> x=15
при х= 14 S'>0
при х= 16 S'<0
Значит х=15 = точка максимума.
у= 60-2х =  60-30 = 30
Ответ: перпендикулярно озеру размер забора 15м (две полосы), параллельно озеру 30м (одна полоса)
Тогда площадь будет наибольшей S = 15 * 30 = 450м^2

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод завершения квадрата. Пусть одна из сторон, выходящих на пруд, равна х, а другие две стороны равны у. Тогда площадь прямоугольного участка земли будет равна S = х * у.

Так как требуется поставить забор длиной 60 метров, то периметр прямоугольного участка будет равен P = 2x + 2y = 60, или x + y = 30.

Теперь мы можем использовать метод завершения квадрата, чтобы выразить площадь через одну переменную. Для этого мы можем выразить одну переменную через другую из уравнения x + y = 30, например, y = 30 - x.

Теперь подставим y = 30 - x в выражение для площади S = x * y и получим S = x * (30 - x) = 30x - x^2.

Это уравнение задает квадратный трехчлен, который описывает площадь участка земли в зависимости от длины одной из его сторон.

Чтобы найти максимальную площадь участка, мы можем воспользоваться методом нахождения вершины параболы. В данном случае, вершина параболы будет соответствовать максимальной площади участка.

Формула для нахождения координаты x-координаты вершины параболы имеет вид x = -b/(2a), где a = -1, b = 30. Подставляя значения a и b, получаем x = -30/(2*(-1)) = 15.

Теперь, зная x, мы можем найти y, подставив x = 15 в уравнение y = 30 - x, получим y = 30 - 15 = 15.

Итак, размеры участка земли, при которых его площадь будет наибольшей, равны