Question

СРОЧНО!!!! Розв'яжіть рівняння використовуючи метод заміни змінних: 3 + 5x + 1)^{2}[/tex] + 2 + 10x = 3

Answer 1

$3(x^{2}+5x+1)^{2} +2x^{2}+10x=3\\\\3(x^{2}+5x+1)^{2} +2(x^{2}+5x)-3=0 \\\\x^{2}+5x=m\\\\3(m+1)^{2}+2m-3=0\\\\3(m^{2}+2m+1)+2m-3=0\\\\3m^{2} +6m+3+2m-3=0\\\\3m^{2}+8m=0\\\\m(3m+8)=0\\\\m_{1} =0\\\\3m+8=0 \ \Rightarrow \ m_{2}=-\frac{8}{3} \\\\1)x^{2}+5x=0\\\\x(x+5)=0\\\\x_{1} =0\\\\x+5=0 \ \Rightarrow \ x_{2}=-5\\\\2)x^{2}+5x=-\frac{8}{3}\\\\3x^{2}+15x+8=0\\\\D=15^{2}-4\cdot3\cdot8=225-96= 129\\\\x_{3}=\frac{-15-\sqrt{129} }{6}$

$x_{4}=\frac{-15+\sqrt{129} }{6}$

Answer 2

Для розв'язування цього рівняння методом заміни змінних, спочатку потрібно виконати певну заміну.

Позначимо: u = 3 + 5x + 1

Після заміни, отримуємо нове рівняння: u^2 + 2 + 10x = 3

Тепер розв'яжемо нове рівняння відносно u: u^2 + 2 = 3 - 10x u^2 = 1 - 10x u = ±√(1 - 10x)

Тепер підставимо заміну назад: 3 + 5x + 1 = ±√(1 - 10x)

Введемо дві нові змінні: y = ±√(1 - 10x) y^2 = 1 - 10x

Тепер можемо розв'язати отримані квадратні рівняння відносно y:

1) y^2 = 1 - 10x y^2 + 10x - 1 = 0

2) y^2 = 1 - 10x y^2 - 10x - 1 = 0

Розв'яжемо одну з них, наприклад, першу:

y^2 + 10x - 1 = 0

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою дискримінанту: D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-1) = 100 + 4 = 104

Дискримінант D = 104 є додатним числом, тому маємо два різних дійсних корені:

y1 = (-b + √D) / (2a) = (-10 + √104) / 2 = (-10 + 2√26) / 2 = -5 + √26 y2 = (-b - √D) / (2a) = (-10 - √104) / 2 = (-10 - 2√26) / 2 = -5 - √26

Тепер підставимо значення y1 та y2 в друге квадратне рівняння:

y^2 - 10x - 1 = 0

1. Підставляємо y1 = -5 + √26: (-5 + √26)^2 - 10x - 1 = 0 25 - 10√26 + 26 - 10x - 1 = 0 50 - 10x - 10√26 = 0 -10x - 10√26 = -50 -10x = -50 + 10√26 x = 5 - √26

2. Підставляємо y2 = -5 - √26: (-5 - √26)^2 - 10x - 1 = 0 25 + 10√26 + 26 - 10x - 1 = 0 52 - 10x + 10√26 = 0 -10x + 10√26 = -52 -10x = -52 - 10√26 x = -26 - √26

Таким чином, рішенням даного рівняння є дві невід'ємні величини: x = 5 - √26 та x = -26 - √26.