Question

Используя выделение квадрата двучлена докажите неравенство 49а2-6а>120а-91

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$49a^{2}-6a>120a-91\\(7a)^2-126a>-91$

Второе получилось из 49a^2=(7a)^2

$(7a)^2-2(7a)*9>-91$

Видим, что нам в левой части не хватает квадрата 9 для решения.

Справа переносим 81 влево.

$(7a)^2-2(7a)*9+81>-10$

$(7a+9)^2>-10$

Последнее неравенство очевидно, т.к. квадрат числа всегда положительный

Answer 2

Для доказательства неравенства \(49a^2 - 6a > 120a - 91\), мы начнем с того, чтобы преобразовать его, используя выделение квадрата двучлена. Для этого давайте сначала приведем все члены в выражении к одной стороне уравнения. Это даст нам следующее:

\[49a^2 - 6a - (120a - 91) > 0\]

Теперь, чтобы выделить квадрат двучлена, мы сначала должны сгруппировать квадратичные члены (с \(a^2\)) и линейные члены (с \(a\)):

\[(49a^2 - 120a) - (6a + 91) > 0\]

Далее, мы можем преобразовать каждую из скобок с помощью выделения квадрата двучлена. Давайте начнем с первой скобки:

\begin{align*} 49a^2 - 120a &= 7^2a^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10a \\ &= (7a)^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10a \\ &= (7a)^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10a + (10^2) - (10^2) \\ &= (7a - 10)^2 - 10^2 \end{align*}

Теперь давайте преобразуем вторую скобку:

\begin{align*} 6a + 91 &= -2 \cdot 3a - (-91) \\ &= -2 \cdot 3a - (-7 \cdot 13) \\ &= -2 \cdot 3a + 7 \cdot 13 \\ &= 13 \cdot 7 - 2 \cdot 3a \\ &= 91 - 6a \end{align*}

Теперь мы можем заменить исходное неравенство выше с учетом этих преобразований:

\[(7a - 10)^2 - 10^2 - (91 - 6a) > 0\]

Теперь мы можем продолжить упрощение:

\[(7a - 10)^2 - 100 - (91 - 6a) > 0\]

Раскроем квадрат:

\[(7a - 10)^2 - 100 - (91 - 6a) > 0\]

\[(7a - 10)^2 - 100 - 91 + 6a > 0\]

\[(7a - 10)^2 - 191 + 6a > 0\]

Теперь мы видим, что у нас есть квадратный двучлен \((7a - 10)^2\) в левой части, и мы можем продолжить упрощение:

\[(7a - 10)^2 - 191 + 6a > 0\]

Теперь мы можем добавить 191 к обеим сторонам:

\[(7a - 10)^2 + 6a > 191\]

Теперь у нас есть неравенство, которое можно упростить следующим образом:

\[(7a - 10)^2 + 6a > 191\]

Теперь давайте добавим 10 к обеим сторонам:

\[(7a - 10)^2 + 6a + 10 > 191 + 10\]

\[(7a - 10)^2 + 6a + 10 > 201\]

Теперь у нас есть неравенство, которое можно записать как:

\[(7a - 10)^2 + 6a + 10 > 201\]

Теперь мы видим, что левая сторона неравенства представляет собой квадрат двучлена, и он всегда неотрицателен, что значит:

\[(7a - 10)^2 \geq 0\]

Поэтому:

\[(7a - 10)^2 + 6a + 10 > 201\]

Теперь мы можем утверждать, что:

\[(7a - 10)^2 + 6a + 10 \geq 6a + 10\]

Теперь добавим 6a + 10 к обеим сторонам:

\[6a + 10 \geq 6a + 10\]

Итак, мы видим, что это неравенство верно для любого значения \(a\), так как левая сторона больше или равна правой стороне. Таким образом, начальное неравенство \(49a^2 - 6a > 120a - 91\) верно для всех \(a\).