Question

Найти общее решение дифференциального уравнения​y'sinx=ylny

Answer 1

Ответ:

$y'\cdot sinx=y\cdot lny\\\\\\\dfrac{dy}{dx}\cdot sinx=y\cdot lny\\\\\\\int \dfrac{dy}{y\cdot lny}=\int \dfrac{dx}{sinx}\\\\\\\int \dfrac{d(lny)}{lny}=\int \dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}\ \ ,\ \ \Big[\ t=tg\frac{x}{2}\ ,\ sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}\ ,\ dx=\dfrac{2\, dt}{1+t^2}\ \Big]\\\\\\\int \dfrac{d(lny)}{lny}=\int \dfrac{dt}{t}\\\\\\ln|\, lny\, |=ln|\, t\, |+lnC\\\\\\ln|\, lny\,|=ln\Big|\, tg\dfrac{x}{2}\, \Big|+lnC\\\\\\\boxed{\ lny=C\cdot tg\dfrac{x}{2}\ }$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения \(y' \sin(x) = y \ln(y) + 1\), мы можем воспользоваться методом разделяющих переменных. Этот метод заключается в том, чтобы разделить переменные \(y\) и \(x\) с обеих сторон уравнения и затем интегрировать обе части уравнения.

Давайте выполним несколько шагов для решения этого уравнения:

1. Разделим переменные: \(\frac{dy}{y \ln(y) + 1} = \frac{dx}{\sin(x)}\)

2. Теперь интегрируем обе стороны. Для левой стороны используем метод интегрирования по частям, а для правой стороны просто возьмем интеграл синуса: \(\int \frac{dy}{y \ln(y) + 1} = \int \frac{dx}{\sin(x)}\)

Для интегрирования по частям на левой стороне, выберем \(u = \ln(y)\), \(dv = \frac{dy}{y \ln(y) + 1}\)

Тогда \(du = \frac{1}{y}dy\), \(v = \int \frac{dy}{y \ln(y) + 1}\)

Подставив это в интеграл, получим \(\int u dv = uv - \int v du\) \(\int \ln(y) \frac{dy}{y \ln(y) + 1} = \ln(y) \int \frac{dy}{y \ln(y) + 1} - \int v du\)

3. Теперь мы можем решить интегралы на обеих сторонах: \(\ln(y) \int \frac{dy}{y \ln(y) + 1} = \ln(y) \int \frac{dy}{y \ln(y) + 1} - \int v du\)

Это даст нам следующее уравнение: \(\int v du = 0\)

Теперь интегрируем правую сторону: \(\int v du = \int \frac{dx}{\sin(x)}\)

4. Решим интегралы: \(\ln(y) \int \frac{dy}{y \ln(y) + 1} = -\ln(\cos(x)) + C\)

Где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования.

5. Теперь мы можем выразить интеграл на левой стороне через элементарные функции. Для этого давайте воспользуемся заменой переменной: Пусть \(u = \ln(y)\), тогда \(\frac{du}{dy} = \frac{1}{y}\) и \(dy = ydu\). Теперь мы можем переписать интеграл на левой стороне: \(\ln(y) \int \frac{dy}{y \ln(y) + 1} = \int \frac{ydu}{u + 1}\)

6. Теперь интегрируем левую сторону: \(\int \frac{ydu}{u + 1} = -\ln(\cos(x)) + C\)

7. Продолжим интегрировать: \(\int ydu = -\ln(\cos(x)) + C(u)\)

Интеграл на левой стороне может быть выражен через элементарные функции как: \(\frac{1}{2}y^2 = -\ln(\cos(x)) + C(u)\)

8. Теперь вернемся к переменной \(u\) и выразим \(C(u)\): \(\frac{1}{2}y^2 = -\ln(\cos(x)) + C(u)\) \(C(u) = \frac{1}{2}y^2 + \ln(\cos(x))\)

9. Вернемся к исходной переменной \(y\) (теперь, используя \(\ln(y) = u\)): \(C(u) = \frac{1}{2}e^{2u} + \ln(\cos(x))\)

10. Заменяем \(u\) обратно на \(\ln(y)\): \(C(\ln(y)) = \frac{1}{2}e^{2\ln(y)} + \ln(\cos(x))\)

\(C(\ln(y)) = \frac{1}{2}y^2 + \ln(\cos(x))\)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: \(\frac{1}{2}y^2 + \ln(\cos(x)) = C(\ln(y))\)

Где \(C\) - произвольная функция от \(\ln(y)\), и это представляет собой общее решение данного уравнения.