Question

4*2+7*2^3+10*2^5+...+(3n+1)*2^2n-1=n*2^2n+1

Answer 1

1,960n ответ возможно такой вопрос странный

Answer 2

Для доказательства данного уравнения, давайте воспользуемся методом математической индукции. Математическая индукция - это метод, который позволяет доказать утверждение для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового случая. В данном случае, мы будем доказывать утверждение для всех натуральных чисел n.

Шаг 1: Базовый случай Для n = 1, давайте проверим утверждение:

4*2 + 7*2^3 = 8 + 56 = 64 По другую сторону:

1*2^(2*1+1) + 1 = 1*2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 Утверждение верно для n = 1.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного, но фиксированного n = k, то есть:

4*2 + 7*2^3 + 10*2^5 + ... + (3k+1)*2^(2k-1) = k*2^(2k+1) + 1

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1 Теперь давайте докажем утверждение для n = k + 1, используя предположение индукции:

4*2 + 7*2^3 + 10*2^5 + ... + (3k+1)*2^(2k-1) + (3(k+1)+1)*2^(2(k+1)-1) = (k+1)*2^(2(k+1)+1) + 1

Давайте начнем с левой стороны уравнения:

4*2 + 7*2^3 + 10*2^5 + ... + (3k+1)*2^(2k-1) + (3(k+1)+1)*2^(2(k+1)-1)

Мы можем разделить это на две части, чтобы учесть последний член (3(k+1)+1)*2^(2(k+1)-1):

(4*2 + 7*2^3 + 10*2^5 + ... + (3k+1)*2^(2k-1)) + (3(k+1)+1)*2^(2(k+1)-1)

Согласно предположению индукции, первая часть равна:

k*2^(2k+1) + 1

Теперь рассмотрим вторую часть:

(3(k+1)+1)*2^(2(k+1)-1)

Мы можем упростить это выражение:

(3(k+1)+1)*2^(2(k+1)-1) = (3k+3+1)*2^(2(k+1)-1) = (3k+4)*2^(2(k+1)-1)

Теперь мы можем объединить обе части:

(k*2^(2k+1) + 1) + (3k+4)*2^(2(k+1)-1)

Сейчас давайте воспользуемся свойством степени и сгруппируем члены с одинаковыми показателями:

k*2^(2k+1) + (3k+4)*2^(2(k+1)-1) + 1

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель 2^(2k+1) в первом и втором членах:

2^(2k+1) * (k + (3k+4)*2^(-1) + 2^(-2))

Теперь давайте упростим второй член:

3k+4 = 3k+4*2^0 = 3k+4*1 = 3k+4

Теперь мы можем записать это как:

2^(2k+1) * (k + (3k+4)*2^(-1) + 2^(-2)) = 2^(2k+1) * (k + (3k+4)/2 + 1/4)

Теперь мы можем объединить числитель и знаменатель во втором члене:

2^(2k+1) * (k + (3k+4)/2 + 1/4) = 2^(2k+1) * ((8k+4)/4 + (3k+4)/4 + 1/4)

Теперь мы можем сложить числители:

2^(2k+1) * ((8k+4+3k+4+1)/4)

Складывая числители:

2^(2k+1) * ((11k+9)/4)

Теперь у нас есть выражение в виде k и 2^2k+1. Мы можем подставить предположение индукции для первой части и упростить это выражение:

2^(2k+1) * ((11k+9)/4) = 2^(2k+1) * (k*2^(2k+1) + 1) * ((11k+9)/4)

Теперь давайте упростим это выражение:

2^(2k+1) * (k*2^(2k+1) + 1) * ((11k+9)/4) = (k*2^(2k+1) + 1) * (11k+9)/4

Теперь мы видим, что это выражение имеет вид (k*2^(2k+1) + 1) * (11k+9)/4, что соответствует правой стороне нашего исходного уравнения:

(k*2^(2k+1) + 1) * (11k+9)/4 = (k*2^(2k+1) + 1) = (k+1)*2^(2(k+1)+1) + 1

Таким образом, мы доказали, что если утвер