Question

Запишите многочлен третьей степени, корни которого равны: 1) -1; 0; 2; 2) -2; 2; 1; 3) -2; 1; 3; 4) -2; -1; 4.​

Answer 1

Ответ:

${x}^{3} - {x}^{2} - 2x = x(x + 1)(x - 2) = 0 \\ {x}^{3} - {x}^{2} - 4x + 4 = (x + 2)(x - 2)(x - 1) = ( {x}^{2} - 4)(x - 1) = 0 \\ {x}^{3} - 2 {x}^{2} - 5x + 6 = (x + 2)(x - 1)(x - 3) = 0 \\ {x}^{6} - {x}^{2} - 10x - 8 = (x + 2)(x + 1)(x - 4) = 0$

Answer 2

Для записи многочлена третьей степени с заданными корнями, мы можем использовать формулу (x - a)(x - b)(x - c), где a, b и c - это корни многочлена.

В данном случае у нас есть несколько вариантов ответа, так как каждый корень может иметь различные кратности. Я предоставлю два варианта ответа, один с уникальными корнями и один с повторяющимися корнями:

Вариант 1: Уникальные корни Мы можем использовать корни -1, 0 и 2 для построения многочлена третьей степени. Чтобы записать его, мы используем формулу (x - (-1))(x - 0)(x - 2):

(x + 1)(x - 0)(x - 2)

Далее, мы можем раскрыть скобки и умножить полученные многочлены:

(x + 1)(x - 0)(x - 2) = (x^2 + x)(x - 2) = (x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x) = x^3 - x^2 - 2x^2 - 2x

Упрощая полученный многочлен, мы получим окончательный ответ:

x^3 - 3x^2 - 2x

Вариант 2: Повторяющиеся корни Мы можем использовать корни -2, 2 и 2 для построения многочлена третьей степени с повторяющимися корнями. Чтобы записать его, мы используем формулу (x - (-2))(x - 2)^2:

(x + 2)(x - 2)^2

Далее, мы можем раскрыть скобки и умножить полученные многочлены:

(x + 2)(x - 2)^2 = (x + 2)(x^2 - 4x + 4) = x(x^2 - 4x + 4) + 2(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x + 2x^2 - 8x + 8

Упрощая полученный многочлен, мы получим окончательный ответ:

x^3 - 2x^2 - 4x + 8

Таким образом, мы получили два возможных ответа на ваш вопрос. Выбор между этими двумя вариантами зависит от того, какие корни многочлена вам нужны (уникальные или повторяющиеся).