Question

Помогите с решением 6.Обчисліть ∫_1^2(3x^2-1/x^2 ) dx 7.Обчисліть ∫_(π/6)^(π/3)dx/cos^2⁡x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения первого интеграла, ∫(3x^2 - 1)/(x^2) dx, мы можем разложить выражение на два интеграла:

∫(3x^2)/(x^2) dx - ∫(1)/(x^2) dx

Первый интеграл, ∫(3x^2)/(x^2) dx, упрощается до:

∫3 dx

Так как константа может быть вынесена за знак интеграла, получаем:

3∫dx

Интегрируя константу, получаем:

3x + C1

Для второго интеграла, ∫(1)/(x^2) dx, мы можем использовать стандартную формулу интеграла для отрицательной степени:

∫(1)/(x^2) dx = -1/x + C2

Теперь мы можем объединить оба интеграла и добавить константы:

∫(3x^2 - 1)/(x^2) dx = 3x - 1/x + C

где C = C1 + C2.

Итак, решение первого интеграла ∫(3x^2 - 1)/(x^2) dx равно 3x - 1/x + C.

Теперь рассмотрим второй интеграл, ∫dx/(cos^2(x)), в интервале от π/6 до π/3.

Мы можем использовать формулу замены для тангенса:

∫dx/(cos^2(x)) = ∫(sec^2(x)) dx

Затем интегрируем sec^2(x) как тангенс:

∫(sec^2(x)) dx = tan(x) + C

Теперь, чтобы вычислить интеграл в указанном интервале, мы подставляем верхний и нижний пределы интегрирования в полученное выражение:

∫(π/6)^(π/3) dx/(cos^2(x)) = tan(π/3) - tan(π/6)

Так как tan(π/3) = √3 и tan(π/6) = 1/√3, мы можем подставить значения:

∫(π/6)^(π/3) dx/(cos^2(x)) = √3 - 1/√3

Итак, решение второго интеграла ∫(π/6)^(π/3) dx/(cos^2(x)) равно √3 - 1/√3.

Answer 3

Я могу помочь вам с решением этих интегралов. Вот подробные решения:

6. Обчисліть ∫_1^2(3x^2-1/x^2 ) dx

Решение:

∫_1^2(3x^2-1/x^2 ) dx = ∫_1^2(3x^2+1-2/x^2 ) dx

= [x^3+x-2ln|x|]_1^2

= (2^3+2-2ln|2|)-(1^3+1-2ln|1|)

= 6-2ln2

7. Обчисліть ∫_(π/6)^(π/3)dx/cos^2⁡x

Решение:

∫_(π/6)^(π/3)dx/cos^2⁡x = [tgx]_(π/6)^(π/3)

= tg(π/3)-tg(π/6)

= √3-1/√3

= (√3)^2-1/√3

= 2/√3

Надеюсь, это было полезно для вас. Если у вас есть другие вопросы, я буду рад ответить на них.