Question

Помогите решить Дифференциальное уравнение пожалуйстаа (x^2+x)ydx+(y^2+1)dy=0

Answer 1

Ответ:

$( {x}^{2} + x)ydx + ( {y}^{2} + 1)dy = 0 \\ ( {y}^{2} + 1)dy = - y( {x}^{2} + x)dx \\ \int\limits \frac{({y}^{2}+1)dy}{y} = - \int\limits \frac{ dx }{ {x}^{2} + x } \\ \\\int\limits \frac{ dx }{ x(1 + x )} = ln(x)-ln(x+1)+C=ln(\frac{x}{x+1})+C\\ \\\int\limits(y+\frac{1}{y})dy=-ln(\frac{x}{x+1})+C \\ \frac{{y}^{2}}{2}+ln(y)=-ln(\frac{x}{x+1})+C\\ \frac{{y}^{2}}{2}+ln(y)=ln(\frac{x+1}{x})+C$

общее решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения выразим dy и dx и сгруппируем все переменные:

(x^2 + x)ydx + (y^2 + 1)dy = 0

(x^2 + x)ydx = -(y^2 + 1)dy

поделим обе части на (x^2 + x)(y^2 + 1):

ydx/dy = -(y^2 + 1)/(x^2 + x)

Теперь проведем замену переменных, полагая y = u:

dy/dx = du/dx

Тогда уравнение примет вид:

udx/dy = -(u^2 + 1)/(x^2 + x)

Перенесем dx в правую часть:

dx = -(u^2 + 1)(x^2 + x)du

Теперь можем разделить переменные:

1/((u^2 + 1)(x^2 + x)) dx = -du

Интегрируем обе части уравнения:

∫1/((u^2 + 1)(x^2 + x)) dx = ∫-du

Выразим дробь в виде суммы простых дробей:

A/(u^2 + 1) + B/(x^2 + x) = -du

(u^2 + 1)A + (x^2 + x)B = -1

Подставим разные значения u и x, чтобы найти неизвестные A и B:

При u = 0 и x = 0:

A + B = -1

При u = 1 и x = -1:

2A - B = -1

Решив систему уравнений, найдем A = -1/2 и B = -1/2.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(-1/2)/(u^2 + 1) du + ∫(-1/2)/(x^2 + x) dx = -∫du

-(1/2)arctan(u) - (1/2)ln|x^2 + x| + C1 = -u + C2

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Теперь выразим u:

-(1/2)arctan(u) = -u - (1/2)ln|x^2 + x| + C

arctan(u) = 2u + ln|x^2 + x| + C

u = tan(2u + ln|x^2 + x| + C)

Таким образом, решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = tan(2y + ln|x^2 + x| + C)