Question

Решите, пожалуйста, дифференциальное уравнение √xdy=√ydx

Answer 1

$\sqrt{x} dy= \sqrt{y}dx \\ \frac{dy}{ \sqrt{y} }= \frac{dx}{ \sqrt{x} } \\ \int\limits {} \, \frac{dy}{ \sqrt{y} } = \int\limits{} \, \frac{dx}{ \sqrt{x} } \\ 2\sqrt{y} =2 \sqrt{x} +C \\ \sqrt{y} = \sqrt{x} +C\\ y=x$+C

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения √(x)dy = √(y)dx, мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте начнем.

Разделение переменных

Сначала, мы можем переместить все выражения с y на одну сторону уравнения, а все выражения с x на другую сторону:

√(y)dy = √(x)dx

Интегрирование

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения. Для левой стороны, мы можем использовать замену переменной u = y^(1/2) (то есть, мы заменяем √(y) на u):

∫ u du = ∫ √(x) dx

Вычисляя интегралы, получаем:

(u^2)/2 = (2/3) x^(3/2) + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Возвращение к переменной y

Теперь мы можем вернуться к переменной y, заменяя u на y^(1/2):

(y^(1/2))^2/2 = (2/3) x^(3/2) + C

Упрощая, получаем:

y/2 = (2/3) x^(3/2) + C

Окончательное решение

Наконец, чтобы получить окончательное решение, мы можем умножить обе стороны уравнения на 2:

y = 4/3 x^(3/2) + 2C

Где 2C - новая постоянная, которая также является произвольной.

Таким образом, окончательное решение данного дифференциального уравнения √(x)dy = √(y)dx имеет вид:

y = 4/3 x^(3/2) + 2C

где C - произвольная постоянная.