Question

СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА!!! Найти хотя бы одну первообразную для заданных функций:1)4cos(x+5)+8/x-72) 2sin(x-3)-4/x-23)(3x+7)⁴+1/x⁵​

Answer 1

Объяснение:

ответ на третье задание

Answer 2

Давайте найдем первообразную для данной функции. Для удобства, представим функцию как сумму нескольких слагаемых:

1) \(\int \left(4\cos(x + 5) + \frac{8}{x - 72} + 2\sin(x - 3) - \frac{4}{x - 23} \right)(3x + 7)^4 + \frac{1}{x^5} \, dx\)

Для вычисления первообразной этой функции, нужно интегрировать каждое слагаемое отдельно. Начнем с первого слагаемого:

\(\int 4\cos(x + 5) \, dx\)

Для интегрирования косинуса применим метод интегрирования по частям, где:

\(u = 4\cos(x + 5)\) и \(dv = dx\)

\(du = -4\sin(x + 5) \, dx\) и \(v = x\)

Используя формулу интегрирования по частям \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), получаем:

\(4\cos(x + 5) \cdot x - \int x \cdot (-4\sin(x + 5)) \, dx\)

\(\int x \cdot 4\sin(x + 5) \, dx\)

Для этой части используем метод интегрирования по частям снова, где:

\(u = x\) и \(dv = 4\sin(x + 5) \, dx\)

\(du = dx\) и \(v = -4\cos(x + 5)\)

Применяя формулу интегрирования по частям снова, получим:

\(4\cos(x + 5) \cdot x + \int (-4\cos(x + 5)) \, dx\)

Теперь вычислим интеграл \(\int (-4\cos(x + 5)) \, dx\):

Для интегрирования косинуса используем формулу интегрирования:

\(\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C\)

В данном случае, \(a = 1\), поэтому:

\(\int (-4\cos(x + 5)) \, dx = -4\sin(x + 5) + C_1\)

Теперь объединим все части:

\(4\cos(x + 5) \cdot x - (-4\sin(x + 5)) + C_1\)

Теперь проделаем аналогичные шаги для остальных слагаемых. Учтем, что интеграл от константы равен самой константе умноженной на переменную \(x\):

\(\int \frac{8}{x - 72} \, dx = 8\ln|x - 72| + C_2\)

\(\int 2\sin(x - 3) \, dx = -2\cos(x - 3) + C_3\)

\(\int \frac{4}{x - 23} \, dx = 4\ln|x - 23| + C_4\)

Теперь рассмотрим последнее слагаемое:

\(\int (3x + 7)^4 \, dx\)

Для интегрирования этого выражения, можно воспользоваться формулой для интегрирования полинома вида \((ax + b)^n\):

\(\int (ax + b)^n \, dx = \frac{1}{a(n + 1)}(ax + b)^{n + 1} + C\)

В данном случае, \(a = 3\), \(b = 7\), и \(n = 4\), поэтому:

\(\int (3x + 7)^4 \, dx = \frac{1}{3(4 + 1)}(3x + 7)^5 + C_5\)

Теперь рассмотрим последнее слагаемое:

\(\int \frac{1}{x^5} \, dx\)

Этот интеграл можно выразить как:

\(\int x^{-5} \, dx\)

Используя формулу для интегрирования \(x^n\), получим:

\(\int x^{-5} \, dx = \frac{x^{-5 + 1}}{-5 + 1} + C_6\)

\(\int x^{-5} \, dx = -\frac{1}{4x^4} + C_6\)

Теперь объединим все полученные интегралы:

\(\int \left(4\cos(x + 5) + \frac{8}{x - 72} + 2\sin(x - 3) - \frac{4}{x - 23} \right)(3x + 7)^4 + \frac{1}{x^5} \, dx = \left(4\cos(x + 5) \cdot x - 4\sin(x + 5) + C_1\right) + \left(8\ln|x - 72| + C_2\right) + \left(-2\cos(x - 3) + C_3\right) + \left(4\ln|x - 23| + C_4\right) + \left(\frac{1}{3(4 + 1)}(3x + 7)^5 + C_5\right) + \left(-\frac{1}{4x^4} + C_6\right) + C\)

Где \(C\) - это постоянная интеграции, которая может быть общей для всех слагаемых.