Question

Решите уравнение cos 3x- cos 5x=sin x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала используем тригонометрические тождества.

1. Тождество суммы для косинуса: \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \]

2. Тождество разности для косинуса: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \]

Используя эти тождества, мы можем преобразовать уравнение \(\cos(3x) - \cos(5x) = \sin(x)\):

\[ \cos(3x) - \cos(5x) = \sin(x) \] \[ \cos(3x) - (\cos(3x)\cos(2x) - \sin(3x)\sin(2x)) = \sin(x) \]

Теперь заметим, что \(\cos(3x) = \cos(2x + x)\) и применим тождество суммы для косинуса:

\[ \cos(3x) - (\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)) = \sin(x) \]

Теперь используем тождество суммы для синуса:

\[ \cos(3x) - (\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)) = \sin(x) \] \[ \cos(3x) - \cos(2x + x) = \sin(x) \]

Теперь у нас есть уравнение вида \(\cos(A) = \sin(x)\), где \(A = 2x + x\). Однако, чтобы решить это уравнение, нам нужно учесть, что значения \(\cos\) и \(\sin\) в пределах \([0, 2\pi]\) не всегда равны между собой. Их значения равны только в случае, когда угол находится в первом или четвертом квадранте.

Таким образом, мы можем записать уравнение \(\cos(A) = \sin(x)\) и рассмотреть два случая:

1. Случай 1: \(A\) находится в первом квадранте. В этом случае, \(0 \leq A \leq \pi/2\), и \(\cos(A)\) и \(\sin(x)\) положительны. Это означает, что \(A\) должен быть в пределах от \(0\) до \(\pi/2\), и \(x\) также должен быть в пределах от \(0\) до \(\pi/2\).

2. Случай 2: \(A\) находится в четвертом квадранте. В этом случае, \(3\pi/2 \leq A \leq 2\pi\), и \(\cos(A)\) и \(\sin(x)\) отрицательны. Это означает, что \(A\) должен быть в пределах от \(3\pi/2\) до \(2\pi\), и \(x\) также должен быть в пределах от \(3\pi/2\) до \(2\pi\).

Таким образом, мы можем записать два уравнения для каждого случая:

1. Для случая 1: \[ 0 \leq A \leq \pi/2 \] \[ 0 \leq 2x + x \leq \pi/2 \] \[ 0 \leq 3x \leq \pi/2 \] \[ 0 \leq x \leq \pi/6 \]

2. Для случая 2: \[ 3\pi/2 \leq A \leq 2\pi \] \[ 3\pi/2 \leq 2x + x \leq 2\pi \] \[ 3\pi/2 \leq 3x \leq 2\pi \] \[ \pi/2 \leq x \leq 2\pi/3 \]

Таким образом, уравнение \(\cos(3x) - \cos(5x) = \sin(x)\) имеет решения в пределах \([0, \pi/6]\) и \([\pi/2, 2\pi/3]\).