Question

Решите уравнение 3arctg^2x-2п×arctg x-п^2=0 ​

Answer 1

Ответ:

$x=-\sqrt{3}$

Объяснение:

Замена переменной:

$t=arctg(x)\\\\|t|\leq \frac{\pi}{2}$

Тогда:

$3t^2-2\pi \cdot t-\pi^2=0\\\\ D=(-2\pi)^2-4\cdot 3 \cdot (-\pi^2)=4\pi^2+12\pi^2=16\pi^2\\\\t_1=\frac{2\pi-4\pi}{6} =-\frac{2\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}\\\\t_2=\frac{2\pi+4\pi}{6} =\frac{6\pi}{6}=\pi$

Видим, что второй корень не входит в область значений арктангенса. Значит его нужно отбросить.

Возвращаем замену:

$arctg(x)=-\frac{\pi}{3} \\\\x=tg(-\frac{\pi}{3} )=-\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения данного уравнения применим подход к его решению, основанный на тождестве арктангенса:

arctg(a) + arctg(b) = arctg((a + b) / (1 - a * b))

Сначала приведем уравнение к виду, содержащему сумму двух арктангенсов: 3arctg^2(x) - 2π * arctg(x) - π^2 = 0.

Подставим a = arctg(x) и b = -π: 3arctg^2(x) + arctg(-π) = arctg((arctg(x) + (-π)) / (1 - arctg(x) * (-π))).

Очевидно, что мы получим:

3arctg^2(x) + arctg(-π) = arctg((arctg(x) - π) / (1 + arctg(x) * π)).

Сравнивая оба этих выражения, мы можем сделать вывод, что:

(arctg(x) + (-π)) / (1 - arctg(x) * (-π)) = (arctg(x) - π) / (1 + arctg(x) * π).

Упростим это уравнение:

(arctg(x) - π) * (1 - arctg(x) * (-π)) = (arctg(x) + (-π)) * (1 + arctg(x) * π).

(arctg(x) - π) * (1 + arctg(x) * π) = (arctg(x) + (-π)) * (1 - arctg(x) * (-π)).

(arctg(x) - π) + (arctg(x))^2 * π - π^2 * arctg(x) + π^2 = (arctg(x) + (-π)) - (arctg(x))^2 * π - π^2 * arctg(x) - π^2.

(arctg(x))^2 * π - π^2 * arctg(x) + π^2 - π^2 * arctg(x) + π^2 = (-π) - (arctg(x))^2 * π - π^2 * arctg(x) - π^2.

(arctg(x))^2 * π - 2 * π^2 * arctg(x) + π^2 + π^2 = (-π) - (arctg(x))^2 * π - 2 * π^2 * arctg(x) - π^2.

(arctg(x))^2 * π + (arctg(x))^2 * π = (-π) - π.

2 * (arctg(x))^2 * π = -2 * π.

(arctg(x))^2 = -1.

Так как квадрат арктангенса не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений.