Question

Задача 5. Найдите многочлены Ри Q, если их сумма есть многочлен – 6х^2, а их разность Р — Q многочлен 8х^3​

Answer 1

По условию составим систему:

$\begin{cases} P+Q=6x^2\\ P-Q=8x^3 \end{cases}$

Сложим эти уравнения:

$(P+Q)+(P-Q)=6x^2+8x^3$

$P+Q+P-Q=6x^2+8x^3$

$2P=6x^2+8x^3$

Выразим P:

$P=\dfrac{6x^2+8x^3}{2}$

$P=3x^2+4x^3$

Теперь достаточно из любого уравнения выразить Q и поставить в выражение для него соответствующее выражение для P:

$Q=6x^2-P$

$Q=6x^2-(3x^2+4x^3)$

$Q=6x^2-3x^2-4x^3$

$Q=3x^2-4x^3$

Таким образом, искомые многочлены определены:

$\begin{cases} P=3x^2+4x^3\\ Q=3x^2-4x^3\end{cases}$

Answer 2

Ваша задача сводится к нахождению двух многочленов R(x) и Q(x) над полем Q, таких что R(x) + Q(x) = -6x^2 и R(x) - Q(x) = 8x^3.

Сначала мы можем выразить R(x) и Q(x) через данные уравнения. Из уравнения R(x) + Q(x) = -6x^2 мы можем выразить R(x) как R(x) = -6x^2 - Q(x). Затем из уравнения R(x) - Q(x) = 8x^3 мы можем выразить Q(x) как Q(x) = 8x^3 + R(x). Подставив R(x) из первого уравнения, получим Q(x) = 8x^3 - 6x^2.

Теперь, когда мы выразили Q(x), мы можем подставить его во второе уравнение и получить уравнение для R(x): -6x^2 - Q(x) = 8x^3. Подставив Q(x) из первого уравнения, получим уравнение -6x^2 - (8x^3 - 6x^2) = 8x^3, что упрощается до -2x^2 = 8x^3.

Решив это уравнение, мы получим x = 0 и x = -2. Подставив эти значения в уравнение для R(x), получим R(x) = 12x^2 и R(x) = -12x^2 соответственно.

Таким образом, многочлены R(x) и Q(x) равны 12x^2 и 8x^3 - 12x^2 соответственно .