Question

Докажите, что является четной функция у = f(x): 1) f(x) = х² + sin²x;2) f(x) = x⁴sin²x;3) f(x) = (2 - х²) sin²x - 5;4) f(x) = xsin³x​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Четная функция - это функция, у которой f(-x) = f(x)

Сразу напишем, что (sin (-x))^2 = (-sin x)^2 = (sin x)^2

1) f(-x) = (-x)^2 + (sin(-x))^2 = x^2 + (sin x)^2 = f(x)

Она четная.

2) f(-x) = (-x)^4*(sin (-x))^2 = x^4*(sin x)^2 = f(x)

Она четная.

3) f(-x) = (2 - (-x))^2*(sin (-x))^2 - 5 = (2 - x^2)*(sin x)^2 - 5 = f(x)

Она четная.

4) f(-x) = (-x)*(sin (-x))^3 = (-x)(-(sin x)^3 = x*(sin x)^3 = f(x)

Она четная.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция является четной, необходимо показать, что выполняется условие f(-x) = f(x) для любого x.

1) Для функции f(x) = x² + sin²(x):

f(-x) = (-x)² + sin²(-x) = x² + sin²(x)

Таким образом, выполняется условие f(-x) = f(x), значит, функция является четной.

2) Для функции f(x) = x⁴sin²(x):

f(-x) = (-x)⁴sin²(-x) = x⁴sin²(x)

Условие f(-x) = f(x) также выполняется, следовательно, функция является четной.

3) Для функции f(x) = (2 - x²)sin²(x) - 5:

f(-x) = (2 - (-x)²)sin²(-x) - 5 = (2 - x²)sin²(x) - 5

Опять же, условие f(-x) = f(x) соблюдается, поэтому функция является четной.

4) Для функции f(x) = xsin³(x):

f(-x) = (-x)sin³(-x) = -xsin³(x)

На этот раз условие f(-x) = f(x) не выполняется, значит, функция не является четной.

Таким образом, из предложенных функций только первые три являются четными.