Question

Упростите выражение 1-sin a × cos a × ctg a​

Answer 1

$1-Sin\alpha*Cos\alpha*Ctg\alpha =1-Sin\alpha*Cos\alpha*\frac{Cos\alpha}{Sin\alpha}= 1-Cos^{2}\alpha =Sin^{2}\alpha\\\\Otvet:\boxed{Sin^{2}\alpha }$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы должны воспользоваться тригонометрическими формулами и свойствами функций.

Сначала рассмотрим формулу tg(a) = sin(a) / cos(a). Подставим эту формулу в выражение:

1 - sin(a) × cos(a) × (cos(a) / sin(a)).

Теперь упростим это выражение, умножая числитель и знаменатель на sin(a):

(1 × sin(a)) / (sin(a)) - (sin(a) × cos(a) × cos(a)) / (sin(a) × sin(a)).

Упрощая, получаем:

sin(a) / sin(a) - cos^2(a) / sin^2(a).

Теперь рассмотрим формулу sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Подставим её в выражение:

1 - cos^2(a) / sin^2(a) - cos^2(a) / sin^2(a).

Общий знаменатель делаем наименьшим общим кратным:

1 × sin^2(a) / sin^2(a) - cos^2(a) × cos^2(a) / sin^2(a).

Упрощаем:

sin^2(a) - cos^2(a) × cos^2(a) / sin^2(a).

Используя теперь тригонометрическую формулу sin^2(a) = 1 - cos^2(a), заменим в выражении sin^2(a):

(1 - cos^2(a)) - cos^2(a) × cos^2(a) / sin^2(a).

(1 - cos^2(a)) - cos^2(a) × cos^2(a) / (1 - cos^2(a)).

Опять упрощаем:

1 - cos^2(a) - cos^2(a) × cos^2(a) / (1 - cos^2(a)).

Теперь, чтобы продолжить упрощение, рассмотрим другую тригонометрическую формулу cos^2(a) = 1 - sin^2(a). Заменим её в выражении:

1 - (1 - sin^2(a)) - (1 - sin^2(a)) × (1 - sin^2(a)) / (1 - (1 - sin^2(a))).

Упрощаем:

1 - 1 + sin^2(a) - (1 - sin^2(a))^2 / sin^2(a).

Записываем (1 - sin^2(a))^2 как (1 - sin^2(a))(1 - sin^2(a)):

1 - 1 + sin^2(a) - (1 - sin^2(a))(1 - sin^2(a)) / sin^2(a).

Выполняем умножение:

sin^2(a) - (1 - sin^2(a))(1 - sin^2(a)) / sin^2(a).

Теперь раскрываем скобки:

sin^2(a) - (1 - 2sin^2(a) + sin^4(a)) / sin^2(a).

Используем знаменатель так же как значение sin^2(a):

sin^2(a) - 1 + 2sin^2(a) - sin^4(a) / sin^2(a).

Упрощаем:

sin^2(a) + 2sin^2(a) - sin^4(a) - 1 / sin^2(a).

Теперь можем сложить и упростить:

3sin^2(a) - sin^4(a) - 1 / sin^2(a).

Вот упрощенное выражение: 3sin^2(a) - sin^4(a) - 1 / sin^2(a).