Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абциссой x0а) f(x) = 3/x, x0 = -1, x0 = 1б) f(x) = 2x - x^2, x0 = 0, x0 = 2в) f(x) = x^2 + 1, x0 = 0, x0 = 1г) f(x) = x^3 - 1, x0 = - 1, x0 = 2

Answer 1

А) 1) f(-$\frac{3}{-1}$1) = -3

2) f ' (x) = $\frac{-3} {x^{2}}$ 

f ' (-1) = $\frac{-3} {-1^{2}}$ = -3

3) y= -3 - 3(x+1) = -3 -3x-3 = -3x -6

 

1) f(-$\frac{3}{1}$1) = 3

 2) f ' (x) = $\frac{-3} {x^{2}}$ 

f ' (1) = $\frac{-3} {1^{2}}$ = -3

3) y = 3 - 3(x -1) = 3 - 3x + 3 =  - 3x + 6

б) 1) f(0) = 2*0 - 0 = 0

2) f'(x) = (2x)' - $(x^{2})'$ = 2 - 2x

f'(0) = 2 - 2* 0 = 2

3) y = 2x

 

1) f(2) = 2*2 - 2^{2} = 0

2) f'(x) = (2x)' - $</span>(x^{2})'<span>$ = 2 - 2x

f'(2) = 2-2*2 = -2

3) y = -2(x-2) = -2x+4

 

 

 

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой x0

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f в заданной точке, нам понадобятся две вещи: значение функции f в этой точке и значение её производной в этой точке.

a) f(x) = 3/x, x0 = -1, x0 = 1

Для функции f(x) = 3/x, сначала найдем значение функции и производной в точке x0 = -1:

f(-1) = 3/(-1) = -3

Чтобы найти производную функции f(x), возьмем производную от обеих сторон уравнения:

f(x) = 3/x

f'(x) = (d/dx) (3/x)

f'(x) = -3/x^2

Теперь, имея значение функции и производной в точке x0 = -1, мы можем записать уравнение касательной:

y - (-3) = (-3/(-1)^2)(x - (-1))

y + 3 = 3(x + 1)

y + 3 = 3x + 3

y = 3x

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x в точке x0 = -1 - y = 3x.

Аналогично, для x0 = 1 получим y = 3x.

б) f(x) = 2x - x^2, x0 = 0, x0 = 2

Для функции f(x) = 2x - x^2, найдем значение функции и производной в точке x0 = 0:

f(0) = 2(0) - (0)^2 = 0

f'(x) = (d/dx)(2x - x^2)

f'(x) = 2 - 2x

Теперь можем записать уравнение касательной:

y - 0 = (2 - 2(0))(x - 0)

y = 2x

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x - x^2 в точке x0 = 0 - y = 2x.

Аналогично, для x0 = 2 получим y = 2x.

в) f(x) = x^2 + 1, x0 = 0, x0 = 1

Для функции f(x) = x^2 + 1, найдем значение функции и производной в точке x0 = 0:

f(0) = (0)^2 + 1 = 1

f'(x) = (d/dx)(x^2 + 1)

f'(x) = 2x

Теперь можем записать уравнение касательной:

y - 1 = (2(0))(x - 0)

y = 1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 + 1 в точке x0 = 0 - y = 1.

Аналогично, для x0 = 1 получим y = 1.

г) f(x) = x^3 - 1, x0 = -1, x0 = 2

Для функции f(x) = x^3 - 1, найдем значение функции и производной в точке x0 = -1:

f(-1) = (-1)^3 - 1 = -2

f'(x) = (d/dx)(x^3 - 1)

f'(x) = 3x^2

Теперь можем записать уравнение касательной:

y - (-2) = (3(-1)^2)(x - (-1))

y + 2 = 3(x + 1)

y + 2 = 3x + 3

y = 3x + 1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 1 в точке x0 = -1 - y = 3x + 1.

Аналогично, для x0 = 2 получим y = 3x + 5.

Во всех заданных случаях, мы получили уравнения касательных к графикам функций в заданных точках.