Question

Вычислите интеграл. Интеграл x²-4x√x+4x/(√x-2)²dx​

Answer 1

Для вычисления данного интеграла, мы можем разбить его на несколько частей и вычислить их по отдельности.

1) Интеграл ∫x² dx: Интегрируя по степенному правилу, получаем: ∫x² dx = (1/3)x³ + C1, где C1 - произвольная постоянная.

2) Интеграл ∫-4x√x dx: Мы можем использовать замену переменной, где u = √x, тогда dx = 2udu. ∫-4x√x dx = -8∫u² du = -8(1/3)u³ + C2 = -8(1/3)(√x)³ + C2 = -8/3√x³ + C2, где C2 - произвольная постоянная.

3) Интеграл ∫4x/(√x-2)² dx: Мы можем использовать замену переменной, где u = √x - 2, тогда x = (u + 2)² и dx = 2(u + 2)du. ∫4x/(√x-2)² dx = ∫4(u + 2)²/u² du = ∫4(u² + 4u + 4)/u² du = ∫4(1 + 4/u + 4/u²) du. Вычисляем интегралы каждого слагаемого по отдельности: ∫4(1 + 4/u + 4/u²) du = 4u + 16ln|u| - 16/u + C3, где C3 - произвольная постоянная.

Итак, подставляя полученные значения обратно в исходный интеграл, получаем: ∫(x² - 4x√x + 4x/(√x-2)²) dx = (1/3)x³ - 8/3√x³ + 4u + 16ln|u| - 16/u + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл ∫(x² - 4x√x + 4x/(√x-2)²) dx равен (1/3)x³ - 8/3√x³ + 4u + 16ln|u| - 16/u + C.