Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-3x+4 y=x+1

Answer 1

y = x²-3x+4 = x²-3x+9/4+7/4 = (x-3/2)²+7/4

1)x²-3x+4 = x+1

x²-4x+3 = 0

x1 = 1; y = 2

x2 = 3; y = 4

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, вам нужно найти точки их пересечения и затем рассчитать интеграл площади между этими точками. В данном случае у нас есть две кривые:

1. $y = x^2 - 3x + 4$ 2. $y = x + 1$

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем их выражения:

$x^2 - 3x + 4 = x + 1$

Теперь преобразуем это уравнение к квадратному виду:

$x^2 - 3x + 4 - x - 1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители:

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два решения:

1. $x = 1$ 2. $x = 3$

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем рассчитать интеграл площади между этими точками. Площадь фигуры ограничена двумя кривыми и ограничена снизу линией $y = x + 1$ и сверху кривой $y = x^2 - 3x + 4$. Таким образом, площадь можно вычислить как разницу между интегралами этих кривых от $x = 1$ до $x = 3$:

$$\text{Площадь} = \int_{1}^{3} (x^2 - 3x + 4 - (x + 1)) dx$$

Теперь вычислим этот интеграл:

$$\text{Площадь} = \int_{1}^{3} (x^2 - 3x + 4 - x - 1) dx$$

$$\text{Площадь} = \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) dx$$

$$\text{Площадь} = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\right]_1^3$$

Теперь вычислим значения этой функции в точках $x = 3$ и $x = 1$ и вычтем значение в $x = 1$ из значения в $x = 3$:

$$\text{Площадь} = \left[\frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)\right] - \left[\frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1)\right$$

$$\text{Площадь} = \left[\frac{27}{3} - 18 + 9\right] - \left[\frac{1}{3} - 2 + 3\right]$$

$$\text{Площадь} = (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3)$$

$$\text{Площадь} = 0 - (\frac{1}{3} - 2 + 3)$$

$$\text{Площадь} = -(\frac{1}{3} - 2 + 3)$$

$$\text{Площадь} = -(\frac{8}{3})$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна $-\frac{8}{3}$ квадратных единиц.