Question

Если tga - ctga = p то вычислите tg^3a- ctg^3a

Answer 1

На заметку ${\rm tg}\, \alpha\cdot {\rm ctg}\, \alpha=1$. В данном примере используем формулу разности квадратов, имеем:

${\rm tg}^3\alpha-{\rm ctg}^3\alpha=\left({\rm tg}\,\alpha-{\rm ctg}\, \alpha\right)\left({\rm tg}^2\alpha+{\rm tg}\, \alpha\cdot{\rm ctg}\, \alpha+{\rm ctg}^2\alpha\right)=\\ \\ \\ =p\left({\rm tg}^2\alpha-2+{\rm ctg}^2\alpha+3\right)=p\, \left(\left({\rm tg}\, \alpha-{\rm ctg}\, \alpha\right)^2+3\right)=p\left(p^2+3\right)$

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы приведения для тангенса и котангенса в кубе:

tg^3a = (tg^2a) * tg a = (1 - ctg^2a) * tg a ctg^3a = (ctg^2a) * ctg a = (1 - tg^2a) * ctg a

Из условия задачи у нас дано, что tga - ctga = p. Мы можем использовать данное равенство для нахождения значения tg a и ctg a.

tga - ctga = p tg a - 1/ctg a = p (tg a * ctg a - 1) / ctg a = p tg a * ctg a - 1 = p * ctg a tg a * ctg a = p * ctg a + 1

Теперь мы можем заменить tg a * ctg a в формулах приведения:

tg^3a = (1 - ctg^2a) * tg a = (1 - (p * ctg a + 1)^2) * tg a = (1 - (p^2 * (ctg a)^2 + 2p * ctg a + 1)) * tg a = (1 - p^2 * (ctg a)^2 - 2p * ctg a - 1) * tg a = -p^2 * (ctg a)^2 - 2p * ctg a * tg a

ctg^3a = (1 - tg^2a) * ctg a = (1 - (1 - ctg^2a)) * ctg a = ctg^2a * ctg a = (p * ctg a + 1) * ctg a = p * (ctg a)^2 + ctg a

Таким образом, мы получили выражения для tg^3a и ctg^3a через p и ctg a.