Question

Знайти похідну y'( π/2) y(x)= cos 2x•tg(x-π/4)

Answer 1

Решение
Знайти похідну y'( π/2) y(x)= cos 2x•tg(x-π/4)
y`(x) = - 2sinx + 1/cos²(x - π/4)
y`(π/2) =  - 2sin(π/2) + 1/cos²(π/2 - π/4) = - 2 + 1/cos²(π/4) =
 = - 2 + 1/[(1/√2)*(1/√2)] = - 2 + 2 = 0

Answer 2

Щоб знайти похідну функції y' при x = π/2 для заданої функції y(x) = cos(2x) · tg(x - π/4), ми використаємо правило диференціювання добутку, ланцюжкове правило та правило диференціювання тангенса.

1. Правило диференціювання добутку: Для функцій f(x) та g(x) маємо (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).

2. Ланцюжкове правило: Якщо у нас є функція f(g(x)), то похідна цієї функції може бути знайдена за формулою (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).

3. Правило диференціювання тангенса: Похідна функції tg(x) дорівнює (tg(x))' = sec^2(x).

Крок 1: Знайдемо похідну функції y(x) = cos(2x) · tg(x - π/4) за допомогою правила диференціювання добутку:

Для f(x) = cos(2x) та g(x) = tg(x - π/4), маємо: f'(x) = -2sin(2x) g'(x) = sec^2(x - π/4)

Застосуємо формулу: y'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x) y'(x) = (-2sin(2x)) · tg(x - π/4) + cos(2x) · sec^2(x - π/4)

Крок 2: Знайдемо значення похідної y'(π/2):

Підставимо x = π/2 у вираз для y'(x): y'(π/2) = (-2sin(2(π/2))) · tg(π/2 - π/4) + cos(2(π/2)) · sec^2(π/2 - π/4)

Спростимо вираз: y'(π/2) = (-2sin(π)) · tg(π/4) + cos(π) · sec^2(π/4) y'(π/2) = 0 · 1 + (-1) · sec^2(π/4) y'(π/2) = -sec^2(π/4)

Таким чином, похідна функції y'(π/2) дорівнює -sec^2(π/4).

Якщо вам потрібно доопрацювати цей вираз або отримати числове значення, будь ласка, повідомте мені.