Question

Решите 3x^2-10x+3/x^2-10x+25>0

Answer 1

$\frac{3x^{2}-10x+3 }{x^{2}-10x+25 }>0\\\\\frac{3(x-3)(x-\frac{1}{3})}{(x-5)^{2} }>0\\\\(x-3)(x-\frac{1}{3})(x-5)^{2}>0$

        +                     -                       +                      +

__________₀___________₀_________₀__________

                   1/3                       3                   5

x ∈ (- ∞ ; 1/3) ∪ (3 , 5) ∪ (5 ; + ∞)

Answer 2

Для решения неравенства \(3x^2 - 10x + \frac{3}{x^2 - 10x + 25} > 0\) мы сначала должны найти области значений \(x\), в которых данное неравенство выполняется. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем область значений знаменателя \(x^2 - 10x + 25\).

Знаменатель представляет собой квадратное уравнение \(x^2 - 10x + 25\), которое можно факторизировать, чтобы упростить его:

\[x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\]

Заметим, что это выражение всегда положительно, так как квадрат любого числа неотрицателен. Следовательно, знаменатель всегда положителен.

2. Теперь рассмотрим числитель \(3x^2 - 10x + 3\). Мы будем искать корни этого квадратного уравнения, чтобы определить, где он равен нулю, и использовать эту информацию для определения знака числителя в различных интервалах.

\[3x^2 - 10x + 3 = 0\]

Для нахождения корней данного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где в данном случае \(a = 3\), \(b = -10\), и \(c = 3\). Подставив эти значения, получим:

\[x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}\]

Это дает нам два корня:

\(x_1 = \frac{9}{3} = 3\) и \(x_2 = \frac{2}{3}\).

Теперь у нас есть информация о корнях числителя. Мы можем использовать эти корни, чтобы разделить интервалы значений \(x\):

- \(x < \frac{2}{3}\) - \(\frac{2}{3} < x < 3\) - \(x > 3\)

3. Теперь мы анализируем знак числителя и знаменателя в каждом из этих интервалов:

В интервале \(x < \frac{2}{3}\): - Числитель: \(3x^2 - 10x + 3 > 0\), так как оба корня числителя находятся в других интервалах. - Знаменатель: \(x^2 - 10x + 25 > 0\), как мы уже установили, всегда положителен.

В интервале \(\frac{2}{3} < x < 3\): - Числитель: \(3x^2 - 10x + 3 > 0\), так как оба корня числителя находятся вне этого интервала. - Знаменатель: \(x^2 - 10x + 25 > 0\), как мы уже установили, всегда положителен.

В интервале \(x > 3\): - Числитель: \(3x^2 - 10x + 3 > 0\), так как оба корня числителя находятся в других интервалах. - Знаменатель: \(x^2 - 10x + 25 > 0\), как мы уже установили, всегда положителен.

Теперь объединим результаты для всех интервалов:

- В интервалах \(x < \frac{2}{3}\) и \(x > 3\), числитель и знаменатель положительны. Поэтому, в этих интервалах неравенство выполняется (\(> 0\)). - В интервале \(\frac{2}{3} < x < 3\), числитель и знаменатель также положительны. Поэтому, в этом интервале неравенство также выполняется (\(> 0\)).

Таким образом, неравенство \(3x^2 - 10x + \frac{3}{x^2 - 10x + 25} > 0\) выполняется на всей числовой прямой, за исключением точек \(x = \frac{2}{3}\) и \(x = 3\).