Question

Укажи член разложения (2/x + x)^6, который не содержит х.

Answer 1

Ответ: 160

Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти член разложения выражения \((2/x + x)^6\), который не содержит \(x\), нам нужно воспользоваться биномиальной формулой:

\((a + b)^n = C(n,0) a^n b^0 + C(n,1) a^{n-1} b^1 + \ldots + C(n,n) a^0 b^n\),

где \(C(n,k)\) - биномиальный коэффициент.

В данном случае \(a = \frac{2}{x}\) и \(b = x\), а \(n = 6\). Подставим значения:

\(\left(\frac{2}{x} + x\right)^6 = C(6,0) \left(\frac{2}{x}\right)^6 x^0 + C(6,1) \left(\frac{2}{x}\right)^5 x^1 + \ldots + C(6,6) \left(\frac{2}{x}\right)^0 x^6\).

Следующий шаг - вычислить биномиальные коэффициенты \(C(n,k)\). Они выражаются формулой:

\[C(n,k) = \frac{n!}{k! (n-k)!}\],

где \(n!\) - факториал \(n\), то есть произведение всех положительных целых чисел от 1 до \(n\).

Теперь найдем коэффициенты:

\[C(6,0) = \frac{6!}{0! (6-0)!} = 1\]

\[C(6,1) = \frac{6!}{1! (6-1)!} = \frac{6!}{1! 5!} = 6\]

\[C(6,2) = \frac{6!}{2! (6-2)!} = \frac{6!}{2! 4!} = 15\]

\[C(6,3) = \frac{6!}{3! (6-3)!} = \frac{6!}{3! 3!} = 20\]

\[C(6,4) = \frac{6!}{4! (6-4)!} = \frac{6!}{4! 2!} = 15\]

\[C(6,5) = \frac{6!}{5! (6-5)!} = \frac{6!}{5! 1!} = 6\]

\[C(6,6) = \frac{6!}{6! (6-6)!} = 1\]

Теперь подставим найденные значения обратно в выражение:

\[1 \left(\frac{2}{x}\right)^6 x^0 + 6 \left(\frac{2}{x}\right)^5 x^1 + 15 \left(\frac{2}{x}\right)^4 x^2 + 20 \left(\frac{2}{x}\right)^3 x^3 + 15 \left(\frac{2}{x}\right)^2 x^4 + 6 \left(\frac{2}{x}\right)^1 x^5 + 1 \left(\frac{2}{x}\right)^0 x^6\]

Упростим каждый член:

\[2^6 x^0 + 6 \cdot 2^5 x + 15 \cdot 2^4 x^2 + 20 \cdot 2^3 x^3 + 15 \cdot 2^2 x^4 + 6 \cdot 2 x^5 + 1 \cdot 1 x^6\]

\[64 + 192x + 240x^2 + 160x^3 + 60x^4 + 12x^5 + x^6\]

Мы видим, что все члены разложения содержат \(x\) в какой-то степени, так что в данном случае нет члена разложения, который не содержит \(x\).