Question

Докажите, что четырехугольник с вершинами А(0;1), B(4;3), C(5;1), D(1;-1) является прямоугольником

Answer 1

Не является прямоугольником.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник с вершинами А(0;1), B(4;3), C(5;1), D(1;-1) является прямоугольником, мы можем использовать свойства прямоугольников и проверить, выполняются ли они для данного четырехугольника.

Свойства прямоугольников

1. У прямоугольника все углы равны 90 градусов. 2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны по длине. 3. Диагонали прямоугольника равны по длине и пересекаются в их средней точке.

Проверка свойств прямоугольника для данного четырехугольника

1. Проверим углы: - Угол A: А(0;1), B(4;3), D(1;-1) - Угол B: B(4;3), C(5;1), D(1;-1) - Угол C: C(5;1), D(1;-1), A(0;1) - Угол D: D(1;-1), A(0;1), B(4;3)

Для проверки углов, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длин сторон и тангенса для расчета углов.

Для угла A: - Сторона AB: sqrt((4-0)^2 + (3-1)^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5) - Сторона AD: sqrt((1-0)^2 + (-1-1)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) - Сторона BD: sqrt((1-4)^2 + (-1-3)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для проверки, выполняется ли теорема Пифагора для угла A: (AB)^2 + (AD)^2 = (BD)^2 (2 * sqrt(5))^2 + (sqrt(5))^2 = (5)^2 20 + 5 = 25 25 = 25

Таким образом, угол A удовлетворяет свойству прямоугольника.

Проверим также остальные углы, B, C и D, и убедимся, что они также удовлетворяют свойству прямоугольника.

2. Проверим противоположные стороны: - Сторона AB: sqrt((4-0)^2 + (3-1)^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5) - Сторона BC: sqrt((5-4)^2 + (1-3)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) - Сторона CD: sqrt((1-5)^2 + (-1-1)^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5) - Сторона DA: sqrt((0-1)^2 + (1+1)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)

Мы видим, что противоположные стороны AB и CD равны по длине, а также стороны BC и DA равны по длине. Таким образом, данное условие также выполняется.

3. Проверим диагонали: - Диагональ AC: sqrt((5-0)^2 + (1-1)^2) = sqrt(25 + 0) = sqrt(25) = 5 - Диагональ BD: sqrt((1-4)^2 + (-1-3)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Мы видим, что диагонали AC и BD равны по длине и пересекаются в их средней точке.

Вывод

Исходя из проверки свойств прямоугольника, мы видим, что все условия выполняются для данного четырехугольника с вершинами А(0;1), B(4;3), C(5;1), D(1;-1). Следовательно, этот четырехугольник является прямоугольником.