Question

Корни уравнения x² + ax + b + 1=0 являются натуральными числами. Докажите, a² + b² - составное число.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

По теореме Виета

$(b+1)=x_{1} x_{2}\\a=-(x_{1}+ x_{2})$

Тогда

$a^{2}=(x_{1}+ x_{2})^{2}$

$b^{2} =(x_{1}x_{2}-1)^{2}$

$a^{2} +b^{2} =x_{1}^{2}+x_{2}^{2} +x_{1}^{2} x_{2}^{2} +1=(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})$

Так как корни по условию натуральные, то число $a^{2} +b^{2}$ составное, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим уравнение:

x² + ax + b + 1 = 0

У нас есть два корня, которые, согласно условию, являются натуральными числами. Обозначим эти корни как x₁ и x₂. Таким образом, у нас есть:

x₁, x₂ - натуральные числа

Известно, что сумма корней квадратного уравнения с коэффициентами a, b и c равна -a, а произведение корней равно c. В данном случае:

x₁ + x₂ = -a x₁ * x₂ = b + 1

Теперь давайте рассмотрим выражение a² + b². Мы хотим доказать, что это число составное, то есть оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя.

Мы можем выразить a через сумму корней x₁ и x₂:

a = -x₁ - x₂

Теперь мы можем выразить a² через x₁ и x₂:

a² = (-x₁ - x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²

Теперь давайте выразим b через произведение корней x₁ и x₂:

b = x₁ * x₂ - 1

Теперь мы можем выразить b² через x₁ и x₂:

b² = (x₁ * x₂ - 1)² = x₁² * x₂² - 2x₁x₂ + 1

Теперь мы можем сложить a² и b²:

a² + b² = (x₁² + 2x₁x₂ + x₂²) + (x₁² * x₂² - 2x₁x₂ + 1)

Заметим, что некоторые члены в этой сумме упрощаются:

a² + b² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² + x₁² * x₂² - 2x₁x₂ + 1

Теперь объединим похожие члены:

a² + b² = (x₁² + x₁² * x₂²) + (x₂² + 1) + (2x₁x₂ - 2x₁x₂)

Теперь давайте сгруппируем члены в скобках:

a² + b² = x₁²(1 + x₂²) + x₂²(1 + 1) + 2x₁x₂(-1 + 1)

a² + b² = x₁²(1 + x₂²) + 2x₂²

Теперь мы видим, что a² + b² выражается в виде суммы двух членов: один из них содержит x₁², а другой содержит x₂². Мы знаем, что x₁ и x₂ - натуральные числа, следовательно, их квадраты также натуральны. Таким образом, оба члена в этой сумме являются натуральными числами.

Теперь давайте посмотрим на это выражение: x₁²(1 + x₂²). Поскольку оба множителя - натуральные числа, их произведение также является натуральным числом.

Итак, мы видим, что a² + b² представляет собой сумму двух натуральных чисел, и одно из них, по крайней мере, больше 1 (если x₂ > 1, то x₁²(1 + x₂²) точно больше 1). Поэтому a² + b² не является простым числом и имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Таким образом, a² + b² - составное число.