Question

Розв'яжіть рівняння методом заміни змінних: x^4-6x^2+5=0

Answer 1

Сделаем замену x^2 на k

ПОЛУЧАЕМ:

$k^{2} -6k+5=0\\D=36-20=16\\\sqrt{16} =4$

$k1=\frac{6+4}{2} =5\\k2=\frac{6-4}{2} =1$

Обратная замена;

$x^{2} =5\\x=\sqrt{5} ;-\sqrt{5}$

ИЛИ

$x^{2} =1\\x=1;-1$

ОТВЕТ:

1;-1;√5;-√5

Answer 2

Давайте разберем решение уравнения методом замены переменных: $$x^4 - 6x^2 + 5 = 0$$.

1. Сначала сделаем замену переменной: пусть $$y = x^2$$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 6y + 5 = 0$$.

2. Решим полученное квадратное уравнение относительно $$y$$. Для этого найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$.

3. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$$

4. Вернемся к исходной переменной $$x$$. Поскольку $$y = x^2$$, то получаем два уравнения: $$x^2 = 5$$ и $$x^2 = 1$$.

5. Решим эти уравнения: - Из уравнения $$x^2 = 5$$ получаем два корня: $$x_1 = \sqrt{5}$$ и $$x_2 = -\sqrt{5}$$. - Из уравнения $$x^2 = 1$$ получаем два корня: $$x_3 = 1$$ и $$x_4 = -1$$.

Итак, исходное уравнение имеет четыре корня: $$\sqrt{5}, -\sqrt{5}, 1, -1$$.