Question

Найдите точки экстремума функции z=x^2-y^2 если x^2+y^2=1

Answer 1

Мож но решать составлением ф-ии Лагранжа но проще свепсти к функции одного переменного.

-y²=x²-1    это из уравнения связи и подставляем в функцию.

z=x²+x²-1=2x²-1    z'(x)=0   z'=4x =0   x=0   -y²=-1   y²=1   y=1  y=-1

имеем 2 точки экстремума (0;-1)  (0;1)

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции z = x^2 - y^2 при условии x^2 + y^2 = 1, мы можем использовать метод множителей Лагранжа. Этот метод позволяет находить экстремумы функций при наличии ограничений.

Давайте начнем с формулировки задачи с использованием множителей Лагранжа:

Функция: f(x, y, λ) = x^2 - y^2 + λ(x^2 + y^2 - 1)

Где λ - множитель Лагранжа, введенный для учета ограничения x^2 + y^2 = 1.

Теперь найдем частные производные функции f(x, y, λ) по переменным x, y и λ и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки экстремума:

∂f/∂x = 2x + 2λx = 0 ∂f/∂y = -2y + 2λy = 0 ∂f/∂λ = x^2 + y^2 - 1 = 0

Решая эти уравнения, получим:

x(1 + λ) = 0 y(1 - λ) = 0 x^2 + y^2 = 1

Из первого уравнения получаем два возможных значения для x: x = 0 или λ = -1. Аналогично, из второго уравнения получаем два возможных значения для y: y = 0 или λ = 1.

Теперь рассмотрим случаи:

Случай 1: Если x = 0 и y = 0, то из третьего уравнения x^2 + y^2 = 1 следует, что x^2 + 0^2 = 1, откуда x = ±1. Таким образом, точки экстремума в этом случае: (1, 0) и (-1, 0).

Случай 2: Если λ = -1, то из третьего уравнения x^2 + y^2 = 1 следует, что x^2 + y^2 = 1. Это уравнение описывает уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1. В этом случае функция z = x^2 - y^2 принимает максимальное значение на границе этой окружности. Таким образом, точки экстремума в этом случае - это точки на окружности x^2 + y^2 = 1.

Случай 3: Если λ = 1, то из третьего уравнения x^2 + y^2 = 1 следует, что x^2 + y^2 = 1. Опять же, это уравнение описывает уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1. В этом случае функция z = x^2 - y^2 принимает минимальное значение на границе этой окружности. Таким образом, точки экстремума в этом случае - это точки на окружности x^2 + y^2 = 1.

Итак, точки экстремума функции z = x^2 - y^2 при условии x^2 + y^2 = 1: 1. (1, 0) 2. (-1, 0) 3. Точки на окружности x^2 + y^2 = 1, где функция z = x^2 - y^2 принимает максимальное значение. 4. Точки на окружности x^2 + y^2 = 1, где функция z = x^2 - y^2 принимает минимальное значение.