Question

Докажите,что если а>0,b>0,то (а+1)(b+1)(ab+1)>8ab.При каких а и b имеет место равенство

Answer 1

Ответ:

a=b.

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством арифметического и геометрического средних: Для любых положительных чисел x и y выполняется неравенство: (x + y)/2 ≥ √(xy) Применим это неравенство к выражениям (a + 1) и (b + 1): (a + 1 + b + 1)/2 ≥ √((a + 1)(b + 1)) (a + b + 2)/2 ≥ √(a + 1)(b + 1) a + b + 2 ≥ 2√(a + 1)(b + 1) -------(1) Теперь применим это неравенство к выражению (ab + 1): (ab + 1)/2 ≥ √(ab) ab + 1 ≥ 2√ab --------(2) Теперь перемножим неравенства (1) и (2): (a + b + 2)(ab + 1) ≥ (2√(a + 1)(b + 1))(2√ab) (a + b + 2)(ab + 1) ≥ 4√(a + 1)(b + 1)√ab (a + b + 2)(ab + 1) ≥ 4√[(a + 1)(b + 1)ab] (a + b + 2)(ab + 1) ≥ 4√[(a + 1)(b + 1)ab] (a + b + 2)(ab + 1) ≥ 4√ab(ab + a + b + 1) (a + b + 2)(ab + 1) ≥ 4√ab(ab + (a + b) + 1) (a + b + 2)(ab + 1) ≥ 4√ab(a + b + 1) ------(3) Теперь заметим, что a > 0 и b > 0, значит (a + b + 2) > 0 и (ab + 1) > 0. Возведем квадрат обе части неравенства (3): ((a + b + 2)(ab + 1))^2 ≥ (4√ab(a + b + 1))^2 (a + b + 2)^2(ab + 1)^2 ≥ 16ab(a + b + 1)^2 (a^2 + 2ab + b^2 + 4a + 4b + 4)(a^2b^2 + 2ab + 1) ≥ 16ab(a + b + 1)^2 a^4b^2 + 2a^3b^2 + a^2b^2 + 4a^3b + 8a^2b + 4ab + a^2b^2 + 2ab + 4a + 4b + 4 ≥ 16ab(a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b + 1) a^4b^2 + 2a^3b^2 + 2a^2b^2 + 4a^3b + 8a^2b + 5ab + 4a + 4b + 4 ≥ 16a^3b + 32a^2b + 16ab + 16a^2 + 32ab + 16b + 16 a^4b^2 + 2a^3b^2 + 2a^2b^2 + 4a^3b + 8a^2b + 5ab + 4a + 4b + 4 ≥ 16a^3b + 32a^2b + 16ab + 16a^2 + 32b + 16 (a^4b^2 - 14a^3b + 16a^2b + 16a^2) + (2a^3b^2 - 16a^2b) + (2a^2b^2 - 16ab + 5ab + 32b) + (4a + 4b + 4 - 16) ≥ 0 Distribute and simplify: a^2(a^2b^2 - 14ab + 16 + 16) + 2ab(a^2b^2 - 8ab + 16 + 5b) + 4(a + b - 3) ≥ 0 a^2(a^2b^2 - 14ab + 32) + 2ab(a^2b^2 - 8ab + 21b) + 4(a + b - 3) ≥ 0 Now, let's analyze when the above inequality holds true. For the inequality to hold true, all terms on the left side of the inequality must be non-negative. Since a and b are both greater than 0, each term is non-negative, regardless of their values. Therefore, for any a> 0 and b> 0, (a + 1)(b + 1)(ab + 1) > 8ab. Таким образом, неравенство выполняется для любых положительных a и b. Равенство в данном неравенстве обращается, когда все слагаемые являются нулевыми. Рассмотрим все слагаемые: a^2(a^2b^2 - 14ab + 32) = 0, означает, что a = 0 или a^2b^2 - 14ab + 32 = 0 2ab(a^2b^2 - 8ab + 21b) = 0, означает, что a = 0 или b = 0 или a^2b^2 - 8ab + 21b = 0 4(a + b - 3) = 0, означает, что a + b - 3 = 0 Первое и второе уравнение имеют одно общее решение a = 0. Второе уравнение также имеет решение b = 0. Третье уравнение имеет решение a + b = 3. Отсюда получаем, что равенство в данном неравенстве выполняется только в трех случаях: 1) a = 0, b = 0 2) a = 0, b ≠ 0 3) a ≠ 0, b ≠ 0, a + b = 3

Answer 3

Для доказательства этого неравенства, я буду использовать метод разности и неравенство Коши. Составим разность левой и правой части неравенства и докажем, что она положительна при всех a > 0 и b > 0:

(а+1)(b+1)(ab+1) - 8ab = ab(a + 1)(b + 1) - 8ab + (a + 1)(b + 1) = ab(a + b) - 8ab + (a + b) + 1 = ab(a + b - 8) + (a + b) + 1.

Заметим, что (a + b - 8) ≥ 0 тогда и только тогда, когда a + b ≥ 8. Также заметим, что (a + b) + 1 > 0 при всех a > 0 и b > 0. Тогда мы можем применить неравенство Коши для двух положительных чисел ab и (a + b) + 1:

(ab)^2 ≤ ab((a + b) + 1).

Умножая обе части на (a + b - 8), получаем:

ab(a + b - 8)^2 ≤ ab((a + b) + 1)(a + b - 8).

Сокращая общий множитель ab, получаем:

(a + b - 8)^2 ≤ ((a + b) + 1)(a + b - 8).

Раскрывая скобки, получаем:

a^2 + b^2 - 16a - 16b + 64 ≤ a^2 + b^2 -7a -7b -8.

Упрощая, получаем:

-9a -9b +72 ≤ -8.

Перенеся все в одну часть, получаем:

-9(a + b) ≤ -64.

Разделив обе части на -9, получаем:

a + b ≥ 64/9.

Таким образом, мы доказали, что если a > 0 и b > 0, то

(а+1)(b+1)(ab+1) - 8ab ≥ ab(a + b - 8) ≥ 0.

Следовательно,

(а+1)(b+1)(ab+1) ≥ 8ab.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда a = b = √(64/9).