Question

Найти предел (стремится к бесконечности) Lim(1+4+9+...n^2)/n^3+3n+2

Answer 1

Ответ: 1/3.

Объяснение:

Сумма квадратов первых n чисел Sn=n*(n+1)*(2*n+1)/6=(2*n³+3*n²+n)/6, поэтому Sn/(n³+3*n+2)=(2*n³+3*n²+n)/(6*n³+18*n+12). Разделив числитель и знаменатель этой дроби на n³, получим выражение (2+3/n+1/n²)/(6+18/n²+12/n³). Так как при n⇒∞ выражения 3/n, 1/n², 18/n² и 12/n³ стремятся к нулю, то искомый предел равен 2/6=1/3.  

Answer 2

Чтобы найти предел данной последовательности, нужно выразить ее в виде отношения двух функций и применить правило Лопиталя или другие методы вычисления пределов. Давайте разберемся, как это сделать. Дано: Lim((1 + 4 + 9 + ... + n^2) / (n^3 + 3n + 2)) при n стремящемся к бесконечности. #### Разложение числителя Для начала, давайте посмотрим на числитель (1 + 4 + 9 + ... + n^2). Мы можем заметить, что это является суммой квадратов первых n натуральных чисел. Это можно записать следующим образом: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 Эта сумма квадратов является известной формулой: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = (n * (n + 1) * (2n + 1)) / 6 #### Разложение знаменателя Теперь давайте посмотрим на знаменатель (n^3 + 3n + 2). Мы можем заметить, что это является кубическим полиномом. Мы можем его разложить с помощью деления с остатком: n^3 + 3n + 2 = (n^3 + 3n^2) + (2n + 2) #### Приведение выражения к отношению функций Теперь, когда у нас есть разложение числителя и знаменателя, мы можем записать исходное выражение в виде отношения двух функций: Lim(((n * (n + 1) * (2n + 1)) / 6) / ((n^3 + 3n^2) + (2n + 2))) при n стремящемся к бесконечности. #### Применение правила Лопиталя Теперь мы можем применить правило Лопиталя, которое позволяет вычислить предел отношения двух функций, когда оба предела числителя и знаменателя равны бесконечности или нулю. Продифференцируем числитель и знаменатель по n: Lim(((d/dn(n * (n + 1) * (2n + 1)) / 6)) / (d/dn((n^3 + 3n^2) + (2n + 2)))) при n стремящемся к бесконечности. Упростим числитель и знаменатель: Lim(((6n^2 + 9n + 2) / 6) / (3n^2 + 2n + 2)) при n стремящемся к бесконечности. #### Вычисление предела Теперь мы можем вычислить предел, подставив бесконечность вместо n: Lim(((6*∞^2 + 9*∞ + 2) / 6) / (3*∞^2 + 2*∞ + 2)) при n стремящемся к бесконечности. Упрощаем выражение: Lim(((6∞^2 + 9∞ + 2) / 6) / (3∞^2 + 2∞ + 2)) при n стремящемся к бесконечности. Теперь мы можем увидеть, что в числителе и знаменателе есть бесконечно большие члены, которые доминируют остальные. Поэтому мы можем применить правило Лопиталя еще раз, продифференцировав числитель и знаменатель по n. Продифференцируем числитель и знаменатель по n: Lim(((d/dn(6∞^2 + 9∞ + 2)) / d/dn(6)) / (d/dn(3∞^2 + 2∞ + 2))) при n стремящемся к бесконечности. Упрощаем числитель и знаменатель: Lim((12∞ + 9) / 6) / (6∞ + 2) при n стремящемся к бесконечности. Теперь мы можем вычислить предел, подставив бесконечность вместо n: Lim((12∞ + 9) / 6) / (6∞ + 2) при n стремящемся к бесконечности. Упрощаем выражение: Lim((∞) / (∞)) при n стремящемся к бесконечности. Наконец, мы получаем: Lim(∞ / ∞) при n стремящемся к бесконечности. Это неопределенная форма. Для дальнейшего анализа необходимо применить дополнительные методы, такие как правило Лопиталя второго порядка или другие приближенные методы.