Question

Решите только 1 под б и 2ое 1. a)cos^2 ( 3x+ pi/4) - sin^2(3x+pi/4)+ корень из 3/2=0 б) х принадлежит [ 3pi/4; pi] 2. (cos x - sin x) ^2 = 1- 2 sin 2 x

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

1. a) Для начала разложим данное уравнение: cos^2(3x + pi/4) - sin^2(3x + pi/4) + sqrt(3)/2 = 0 Используем правило сокращения тригонометрического квадрата: cos^2Θ = (1 + cos2Θ)/2 cos^2(3x + pi/4) = (1 + cos(2(3x + pi/4)))/2 Выполняем подстановку: (1 + cos(6x + pi/2))/2 - sin^2(3x + pi/4) + sqrt(3)/2 = 0 Используем также правило сокращения тригонометрического квадрата для синуса: sin^2Θ = (1 - cos2Θ)/2 sin^2(3x + pi/4) = (1 - cos(2(3x + pi/4)))/2 Выполняем подстановку: (1 + cos(6x + pi/2))/2 - (1 - cos(2(3x + pi/4)))/2 + sqrt(3)/2 = 0 Теперь объединим подобные дроби: [(1 + cos(6x + pi/2)) - (1 - cos(2(3x + pi/4))) + sqrt(3)]/2 = 0 Упростим выражение в скобках: [(1 + cos(6x + pi/2)) - (1 - cos(6x + pi/2)) + sqrt(3)]/2 = 0 cos(6x + pi/2) - cos(6x + pi/2) + sqrt(3) = 0 0 + sqrt(3) = 0 Следовательно, данное уравнение не имеет решений. б) Найдем значения x, принадлежащие интервалу [3pi/4, pi]: Так как cos(3pi/4) = cos(pi/4) = 1/sqrt(2) > 0 и cos(pi) = -1 < 0, найдем значения x, при которых cos(3x + pi/4) > 0, используя ограничения интервала [3pi/4, pi]. Решим уравнение: 3x + pi/4 = pi/4 + 2πk, где k - целое число 3x = 2πk x = 2πk/3 Используя ограничения интервала, имеем: 3pi/4 <= 2πk/3 <= pi Для k = 1 получаем: 3pi/4 <= 2π/3 <= pi x = 2π/3 Итак, значение x, принадлежащее интервалу [3pi/4, pi], равно x = 2π/3. 2. (cos(x) - sin(x))^2 = 1 - 2sin^2(x) Упростим: cos^2(x) - 2cos(x)sin(x) + sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x) Выразим sin^2(x) через cos(x) с использованием основного тригонометрического тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1: cos^2(x) - 2cos(x)sin(x) + 1 - cos^2(x) = 1 - 2sin^2(x) уничтожаем одинаковые слагаемые: -2cos(x)sin(x) = -2sin^2(x) делим на -2: cos(x)sin(x) = sin^2(x) при делении на sin(x), с учетом sin(x) != 0, получим cos(x) = sin(x) Теперь найдем значения x, удовлетворяющие данному уравнению. cos(x) - sin(x) = 0 cos(x) = sin(x) Когда cos(x) = sin(x), угол x находится в одной из следующих квадрантов: I, IV или на границе между ними. В квадранте I: cos(x) = sin(x) sqrt(1 - sin^2(x)) = sin(x) 1 - sin^2(x) = sin^2(x) 1 = 2sin^2(x) sin^2(x) = 1/2 sin(x) = ± sqrt(1/2) Следовательно, значения x в квадранте I равны x = pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4. В квадранте IV: cos(x) = -sin(x) sqrt(1 - sin^2(x)) = -sin(x) 1 - sin^2(x) = sin^2(x) 1 = 2sin^2(x) sin^2(x) = 1/2 sin(x) = ± sqrt(1/2) Следовательно, значения x в квадранте IV равны x = 3pi/4, 5pi/4. Таким образом, решениями данного уравнения являются x = pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4.