Question

Составить уравнение касательной к графику функции f(x) x^3-3x^2+2x-2 в точке с абсциссой x_0=-1

Answer 1

У'=3x^2-6x+2
y'(1)=-1
y(1)=1-3+2-2=-2

Уравнение касательной (у-у0)=у'(x0)*(x-x0)
y+2=-(x-1)
y=-x-1

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 2 \) в точке с абсциссой \( x_0 = -1 \), следует выполнить несколько шагов. Первым шагом будет найти производную данной функции, поскольку касательная к графику функции в точке представляет собой прямую линию, заданную её угловым коэффициентом, который в данном случае будет равен значению производной функции в точке касания. Итак, функция \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 2 \). Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2 + 2x - 2) \] Производная функции \( f(x) \) равна: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \] Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \( x_0 = -1 \), подставим \( x = -1 \) в производную \( f'(x) \): \[ f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + 2 \] \[ f'(-1) = 3 + 6 + 2 \] \[ f'(-1) = 11 \] Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной в точке \( x = -1 \). Следовательно, уравнение касательной имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Где \( (x_0, y_0) \) - это координаты точки касания, \( m \) - угловой коэффициент. Имея угловой коэффициент \( m = 11 \) и точку касания \( (-1, f(-1)) \), можно записать уравнение касательной: \[ y - f(-1) = 11(x - (-1)) \] \[ y - f(-1) = 11(x + 1) \] Теперь нам нужно вычислить значение функции в точке \( x = -1 \) для получения значения \( f(-1) \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) - 2 \] \[ f(-1) = -1 - 3 - 2 - 2 \] \[ f(-1) = -8 \] Таким образом, уравнение касательной к функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 2 \) в точке с абсциссой \( x_0 = -1 \) будет: \[ y + 8 = 11(x + 1) \] Или, если представить уравнение касательной в общем виде: \[ y = 11x + 19 \]