Question

Решить ДУ y’’-3y’=0 у=1, у’=-1, при х=0

Answer 1

Ответ: y=-1/3*e^(3*x)+4/3.

Объяснение:

Полагая z=y', приходим к уравнению z'-3*z=0, которое можно записать в виде z'=dz/dx=3*z, или dz/z=3*dx. Интегрируя обе части, получаем ln/z/=3*x+ln/C1/, где C1 - произвольная, но отличная от нуля постоянная. Отсюда z=y'=C1*e^(3*x). Это уравнение можно записать в виде dy=C1*e^(3*x)*dx, и после интегрирования находим y=1/3*C1*e^(3*x)+C2. Используя условия y(0)=1 и y'(0)=-1, получаем систему уравнений:

1/3*C1+C2=1

C1=-1

Решая её, находим C2=4/3 и тогда искомое частное решение таково: y=-1/3*e^(3*x)+4/3. Проверка: y'=-e^(3*x), y"=-3*e^(3*x), y"-3*y'=0 - уравнению данная функция удовлетворяет. Если x=0, то y=1 и y'=-1 - функция удовлетворяет и условиям.  

Answer 2

Дифференциальное уравнение (ДУ), которое вы предоставили, является линейным однородным уравнением второго порядка. Чтобы решить его, мы можем использовать метод характеристического уравнения. Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, заменив производные в исходном уравнении на соответствующие символы: r^2 - 3r = 0 Шаг 2: Решим характеристическое уравнение, найдя значения r: r(r - 3) = 0 Отсюда получаем два возможных значения для r: r = 0 и r = 3. Шаг 3: Найдем общее решение дифференциального уравнения, используя найденные значения r: y(x) = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x) Где C1 и C2 - произвольные постоянные, а r1 и r2 - найденные значения. Подставляя значения r1 = 0 и r2 = 3, получаем: y(x) = C1 * e^(0 * x) + C2 * e^(3 * x) y(x) = C1 + C2 * e^(3 * x) Шаг 4: Используя начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = -1, найдем значения постоянных C1 и C2. Подставим x = 0 в уравнение и получим: 1 = C1 + C2 * e^(0) 1 = C1 + C2 Дифференцируя общее решение, получаем: y'(x) = 3C2 * e^(3 * x) Подставим x = 0 в уравнение и получим: -1 = 3C2 * e^(0) -1 = 3C2 Решив эти два уравнения относительно C1 и C2, получаем: C1 = 1 - C2 C2 = -1/3 Таким образом, окончательное решение исходного дифференциального уравнения будет: y(x) = (1 - C2) + (-1/3) * e^(3 * x) Если вам нужны численные значения для конкретных значений x, вы можете подставить их в это уравнение.