Question

Y''=x*e^x при y(0)=1, y'(0)=0

Answer 1

Y'' = x*e^x
y ' = ∫ x*e^x dx = e^x *(x - 1) + C1
y = ∫(e^x *(x - 1) + C1) dx = e^x*(x - 2) + C1*x + C2

y = e^0*(0 - 2) + C1*0 + C2 ==> C2 = 3
y ' = e^0*(0 - 1) + C1 ==> C1 = 1

Получим
y =  e^x*(x - 2) + x + 3

+ см скриншоты вспомогательных решений 

Answer 2

Для решения этого дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями y(0) = 1, y'(0) = 0, можно использовать метод вариации параметров. Сначала нужно найти общее решение однородного уравнения y'' + e^x y = 0, а затем найти частное решение неоднородного уравнения с помощью определителя Вронского и интегралов. Полный процесс решения можно посмотреть по ссылке [1](https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/solve-differential-equation-variation-parameters-subject-initial-conditions-y-0-1-y-0-0-36-q50060285). Ответ имеет вид:

y(x) = e^{-x/2} (c_1 \cos(\frac{\sqrt{3}}{2} x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{3}}{2} x)) - \frac{x}{6} e^x

Подставляя начальные условия, можно найти константы c_1 и c_2:

y(0) = 1 = e^0 (c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) - \frac{0}{6} e^0 c_1 = 1

y'(x) = -\frac{1}{2} e^{-x/2} (c_1 \cos(\frac{\sqrt{3}}{2} x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{3}}{2} x)) - e^{-x/2} (\frac{\sqrt{3}}{2} c_1 \sin(\frac{\sqrt{3}}{2} x) - \frac{\sqrt{3}}{2} c_2 \cos(\frac{\sqrt{3}}{2} x)) - \frac{1}{6} e^x (x + 1)

y'(0) = 0 = -\frac{1}{2} e^0 (c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) - e^0 (\frac{\sqrt{3}}{2} c_1 \sin(0) - \frac{\sqrt{3}}{2} c_2 \cos(0)) - \frac{1}{6} e^0 (0 + 1) c_2 = -\frac{\sqrt{3}}{9}

Итак, окончательный ответ:

y(x) = e^{-x/2} (\cos(\frac{\sqrt{3}}{2} x) - \frac{\sqrt{3}}{9} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2} x)) - \frac{x}{6} e^x