Question

Нужно решить уравнение. 1-4sin^2(5x-П/3)=0 Корни указывать не одним выражением, а через формулы: x1=arcsina+2Пn x2=П-arcsina+Пm

Answer 1

$1-4Sin ^{2}(5x- \frac{ \pi }{3})=0\\\\4Sin ^{2} (5x- \frac{ \pi }{3})=1\\\\Sin ^{2}(5x- \frac{ \pi }{3})= \frac{1}{4} \\\\Sin(5x- \frac{ \pi }{3})= \frac{1}{2}\\\\5x- \frac{ \pi }{3}=arcSin \frac{1}{2} +2 \pi n\\\\5x- \frac{ \pi }{3}= \frac{ \pi }{6} +2 \pi n\\\\5x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n\\\\ x_{1} = \frac{ \pi }{10}+ \frac{2 \pi n}{5} \\\\\\5x- \frac{ \pi }{3}= \pi - \frac{ \pi }{6}+2 \pi n\\\\ 5x- \frac{ \pi }{3}= \frac{5 \pi }{6}+2 \pi n\\\\5x= \frac{7 \pi }{6} +2 \pi n\\\\ x_{2}=$ $= \frac{7 \pi }{30} + \frac{2 \pi n}{5}$


$Sin(5x- \frac{ \pi }{3})=- \frac{1}{2}\\\\5x- \frac{ \pi }{3}= - \frac{ \pi }{6} +2 \pi n\\\\5x= \frac{ \pi }{6} +2 \pi n \\\\ x_{3} = \frac{ \pi }{30}+ \frac{2 \pi n}{5}\\\\\ 5x- \frac{ \pi }{3}= \pi -(- \frac{ \pi }{3})+2 \pi n= \frac{4 \pi }{3} +2 \pi n\\\\5x= \frac{5 \pi }{3} +2 \pi n\\\\ x_{4}= \frac{ \pi }{3}+ \frac{2 \pi n}{5}$

Answer 2

Дано уравнение: 1 - 4sin^2(5x-П/3) = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

4sin^2(5x-П/3) - 1 = 0

Поскольку sin^2(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2, можем записать уравнение в виде:

4((1 - cos(2(5x-П/3))) / 2) - 1 = 0

Упростим:

2(1 - cos(2(5x-П/3))) - 1 = 0
2 - 2cos(10x - 2П/3) - 1 = 0
-2cos(10x - 2П/3) + 1 = 0
-2cos(10x - 2П/3) = -1

Теперь разделим обе части уравнения на -2:

cos(10x - 2П/3) = 1/2

Так как значение косинуса равно 1/2 при угле π/3, запишем:

10x - π/3 = ± π/3 + 2πn

где n - целое число.

Решим каждое уравнение относительно x:

1) 10x - π/3 = π/3 + 2πn
10x = 2π/3 + 2πn + π/3
10x = π + 2πn
x = (π + 2πn)/10, n - целое число.

2) 10x - π/3 = -π/3 + 2πn
10x = 2π/3 + 2πn - π/3
10x = 2πn + π/3
x = (2πn + π/3)/10, где n - целое число.

Таким образом, корни уравнения задаются формулами:

x1 = (π + 2πn)/10, где n - целое число.
x2 = (2πn + π/3)/10, где n - целое число.